[論文レビュー] Numerical study of hypergraph product codes

Antoine Grospellier, Anirudh Krishna|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 19被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、小集合反転デコーダを用いて、独立したビットおよび位相反転ノイズ下でのハイパーグラフ積コードの性能を数値的に評価している。低レート族（レート ~1.6%）では約4.6%、高レート族（レート20%）では2%の閾値を報告しており、大規模なコードサイズにおいてトーリックコードを上回る論理エラー率を示しており、3600論理キュービットで数個のオーダーの低下を達成している。

ABSTRACT

Hypergraph product codes introduced by Tillich and Zémor are a class of quantum LDPC codes with constant rate and distance scaling with the square-root of the block size. Quantum expander codes, a subclass of these codes, can be decoded using the linear time small-set-flip algorithm of Leverrier, Tillich and Zémor. In this paper, we numerically estimate the performance for the hypergraph product codes under independent bit and phase flip noise. We focus on two families of hypergraph product codes. The first family has rate $1/61 \sim 1.6\%$, has qubits of weight $10$ or $12$ and stabilizers of weight $11$. We report a threshold near $4.6\%$ for the small-set-flip decoder. We also show that for similar rate, the performance of the hypergraph product is better than the performance of the toric code as soon as we deal with more than $500$ logical qubits and that for $3600$ logical qubits, the logical error rate for the hypergraph product code is several orders of magnitude smaller. The second family has rate $0.2$, qubits of weight $10$ and $20$ and stabilizers of weight $15$. We report a threshold near $2\%$ for the small-set-flip decoder.

研究の動機と目的

• 小集合反転デコーダを用いて、独立したビットおよび位相反転ノイズ下でのハイパーグラフ積コードの数値的閾値を推定すること。
• コードサイズの増加に伴うハイパーグラフ積コードとトーリックコードの論理エラー率性能を比較すること。
• 大規模な量子計算におけるフェイルセーフなオーバーヘッドの観点から、ハイパーグラフ積コードの実用的利点を評価すること。
• 小集合反転デコーダが量子LDPCコードにおける確率的エラーを効果的に是正できるかを評価すること。

提案手法

• 著者らは、度数 (5,6) および (5,10) のランダムに生成された双正則な二部グラフの積を用いて、2つのハイパーグラフ積コード族を構築した。
• 異なるコードブロックサイズにおいて、物理エラー率を変化させながら、独立したビットおよび位相反転ノイズをシミュレートした。
• エラーの訂正に小集合反転デコーディングアルゴリズムを適用し、物理エラー率およびコードサイズの関数として論理失敗率を計算した。
• 同等の論理キュービット数を有する状態で、(5,6)族ではL=8、(5,10)族ではL=3のトーリックコードと比較した。
• 閾値は、コードサイズの増加に伴い論理エラー率が指数関数的に減少し始める物理エラー率として推定した。
• 計算クライアントと高機能コンピュータクラスタ（Calcul QuébecおよびCompute Canadaインfraストラクチャ）を用いてシミュレーションを実施した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小集合反転デコーダを用いた場合、独立したビットおよび位相反転ノイズ下でのハイパーグラフ積コードの数値的閾値は何か？
• RQ2 論理キュービット数の増加に伴い、ハイパーグラフ積コードの論理エラー率はトーリックコードと比べてどのようになるか？
• RQ3 ハイパーグラフ積コードがトーリックコードを論理エラー率の観点で上回るコードサイズは何か？
• RQ4 コードレートおよび安定化子の重みに応じて、ハイパーグラフ積コードの性能特性はどのように変化するか？

主な発見

• レート ~1.6%、キュービット重み10または12のハイパーグラフ積コード族は、独立したビットおよび位相反転ノイズ下で約4.6%の数値的閾値を達成した。
• レート20%、キュービット重み10または20の高レートハイパーグラフ積コード族は、同じノイズモデル下で約2%の閾値を達成した。
• 500論理キュービットを超えるコードサイズでは、ハイパーグラフ積コードがトーリックコードを上回り、3600論理キュービットでエラー率が数個のオーダー低下した。
• コードサイズの増加に伴い、小集合反転デコーダの性能が著しく向上し、閾値を超えて論理エラー率が明確に低下した。
• 結果から、大規模実装におけるフェイルセーフ量子計算において、ハイパーグラフ積コードは顕著なオーバーヘッド削減が可能であることが示唆された。
• 数値的閾値は解析的下限値2.7×10⁻¹⁶と整合的であるが、以前の推定値よりも顕著に高く、実用的実現可能性を示唆している。