[論文レビュー] Numerical trivial fibrations

Hajime Tsuji|ArXiv.org|Jan 5, 2000

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、滑らかな射影的多様体上の擬効的特異ヘルミート線束に対して、新たな交線論を確立し、その束が数的に自明である最大の部分多様体を有する標準的な有理被覆写像（数的に自明な被覆写像と呼ばれる）の構成を可能にする。主な貢献は、この被覆写像の存在と一意性（双正則同値を除いて）であり、これは束の正則性の零方向を捉えるもので、古典的な伊達被覆写像を特異計量へ一般化するものである。

ABSTRACT

We develop an intersection theory for a singular hemitian line bundle with positive curvature current on a smooth projective variety and irreducible curves on the variety. And we prove the existence of a natural rational fibration structure associated with the singular hermitian line bundle. Also for any pseudoeffective line bundle on a smooth projective variety, we prove the existence of a rational natural fibration structure associated with the line bundle. We also characterize a numerically trivial singular hermitain line bundle on a smooth projective variety.

研究の動機と目的

• 滑らかな射影的多様体上の擬効的特異ヘルミート線束のための交線論を開発すること。
• 曲線との交線的性質によって、数的に自明な特異ヘルミート線束を特徴付けること。
• その束の正則性の零方向を捉える標準的な有理被覆写像を構成すること。
• 束が数的に自明である最大の部分多様体を特定することにより、特異計量への伊達被覆写像の概念を一般化すること。
• ファイバー次元を最小化しつつ、ファイバー上で数的に自明性を保つような被覆写像の双正則同値類を確立すること。

提案手法

• 乗数イデアル層と閉じた正のカレントを用いて、擬効的特異ヘルミート線束と既約曲線との間の交線数を定義する。
• 特異ヘルミート計量のための解析的サルキ・分解を導入し、曲率の正の部分と零の部分を分離する。
• 束の制限が数的に自明である最大次元の部分多様体の族を構成する。
• 次元の最小性とサルキの開性に基づく一意性の議論により、この族が有理被覆写像をなすことを証明する。
• 変形に関して数的に自明性が不変であることを用いて、この被覆写像構造を特異多様体へ拡張する。
• 一般の開集合と交わる部分多様体の一意性に関する重要な補題を用い、被覆写像が適切に定義され、双正則同値を除いて一意であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬効的特異ヘルミート線束が滑らかな射影的多様体上に存在する場合、その交線的性質に基づいて、標準的な有理被覆写像を構成できるか？
• RQ2 正のカレントを持つ特異ヘルミート線束の零方向の正確な幾何的意味は何か？
• RQ3 部分多様体上で線束が数的に自明であるということは、そのグローバル切断の構造や伊達型被覆写像の構造にどのように関係するか？
• RQ4 特異ヘルミート線束に関連する被覆写像構造は、標準的AZD（ほとんど everywhere サルキ分解）の選択に依存しないか？
• RQ5 ネフ線束の場合に、解析的被覆写像定理を代数的に特徴づけられるか？

主な発見

• 擬効的特異ヘルミート線束に関連する数的に自明な被覆写像は存在し、双正則同値を除いて一意的である。
• この被覆写像は、一般ファイバーへの束の制限が数的に自明であり、このような被覆写像の中でファイバー次元が最小であるという性質によって特徴付けられる。
• この被覆写像は、束が数的に自明である最大次元の部分多様体の族から生じており、次元の最小性とサルキの開性に基づく一意性の議論によって、有理被覆写像をなす。
• 曲率カレントが滑らかまたは半正定でなくてもよいという点で、$C^{ty}$-滑らかでない場合への結果の拡張が可能である。
• 被覆写像は、標準的AZDの選択に依存せず、構成が双正則不変であることが保証される。
• この被覆写像は古典的な伊達被覆写像を一般化し、特異計量へ拡張するものであり、双正則幾何における新たな解析的道具を提供する。