[論文レビュー] Numerical trivial foliations, Iitaka Fibrations and the numerical dimension

Thomas Eckl|ArXiv.org|Aug 18, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、擬効分岐線分束に対して、高余次元のテスト形式を用いて、数値的に自明な foliation を再定義し、その foliation の余次元が線分束の数値次元に等しいことを証明する。さらに、Kodaira-Iitaka 纖維が数値次元と一致する場合には、それが数値的に自明な foliation と一致することを示し、線分束の非豊富性の十分条件を提供する。

ABSTRACT

Modifying the notion of numerically trivial foliation of a pseudo-effective line bundle L introduced by the author in math.AG/0304312 it can be shown that the leaves of this foliation have codimension bigger or equal to the numerical dimension of L as defined by Boucksom, Demailly, Paun and Peternell, math.AG/0405285. Furthermore, if the Kodaira dimension of L equals its numerical dimension the Kodaira-Iitaka fibration is its numerically trivial foliation. Both statements together yield a sufficient criterion for L not being abundant.

研究の動機と目的

• 擬効分岐線分束の幾何的制約をよりよく捉えるために、数値的に自明な foliation の定義を精緻化すること。
• 線分束の数値次元に基づいて、数値的に自明な foliation の余次元に対する下界を確立すること。
• Kodaira-Iitaka 纖維と数値的に自明な foliation の関係を、Kodaira 次元と数値次元が一致する場合に明確化すること。
• Kodaira 次元と数値次元の差異に基づいて、擬効分岐線分束が豊富でないことを示す十分条件を提供すること。

提案手法

• foliation の特異点集合の補集合上での bidegree (n-p,n-p) のテスト形式を用いて、従来の1次元ディスクに基づく定義に代えて、数値的自明性を再定式化する。
• Fubini の定理とcoarea 公式を用いて、特異点の解消におけるファイバー曲線上の積分を分析し、電流と曲率測度の比較を可能にする。
• キーレンマを用いて、foliation が数値的に自明であれば、関連する電流の積分がファイバー全体で一様に消えることを示す。
• 除法的 Zariski 分解と Néron-Tate 対合を用いて、線分束の数値的不変量とファイバー内の曲線の幾何学的性質を関連付ける。
• 解析的特異性をもつ電流がクラス α[-εω] に属する場合と、それらのテスト形式への積分における消える極限の振る舞いを分析する。
• Campana の還元写像と一般還元技術を用いて、擬効分岐線分束の纏まりと数値的に自明な foliation を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬効分岐線分束の数値次元と関連して、数値的に自明な foliation の真の余次元を反映するように、この概念をどのように強化できるか？
• RQ2 Kodaira-Iitaka 纖維が線分束の数値的に自明な foliation と一致するのはどのような条件下か？
• RQ3 数値次元 ν(L) と数値的に自明な foliation の葉の余次元との正確な関係は何か？
• RQ4 線分束が豊富でないことは、その Kodaira 次元と数値次元の差異から検出可能か？
• RQ5 Néron-Tate 対合と除法的 Zariski 分解の性質は、foliation の数値的自明性にどのように影響するか？

主な発見

• 数値的に自明な foliation の葉の余次元は、常に擬効分岐線分束 L の数値次元以上である。
• 線分束 L の Kodaira 次元が数値次元と一致するとき、Kodaira-Iitaka 纖維は正確に L の数値的に自明な foliation に一致する。
• 数値的に自明な foliation は包含関係において最大であり、局所的キーレンマによってその存在が保証される。
• Kodaira 次元が数値次元よりも厳密に小さい場合、L は豊富でない。
• 証明は、電流のプッシュバックによるファイバー曲線上の積分の消滅に依拠し、一般のファイバー内の曲線 C_t に対して (L - N(L)) · C_t = 0 が成り立つことへと導く。
• 高余次元のテスト形式による数値的自明性の新しい定義は、従来の1次元ディスクに基づく基準に起因する不整合を解消する。