[論文レビュー] Numerical validation of blow-up solutions with quasi-homogeneous compactifications

Kaname Matsue, Akitoshi Takayasu|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2017

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ひとこと要約

本稿では、無限遠における漸近的準同次性を有する有限次元ODEにおける爆発解の厳密な数値検証手法を提示する。新規の準放物型コンパクト化を用いて、発散する軌道をコンパクト化された無限遠における平衡解に到達するグローバル軌道に変換する。厳密な数値積分、リャプノフ関数の検証、時間依存の特異性除去を組み合わせることで、誤差を保証する吹き出し時間の上界・下界およびプロファイルの包囲を計算する。

ABSTRACT

We provide a numerical validation method of blow-up solutions for finite dimensional vector fields admitting asymptotic quasi-homogeneity at infinity. Our methodology is based on quasi-homogeneous compactifications containing a new compactification, which shall be called a quasi-parabolic compactification. Divergent solutions including blow-up solutions then correspond to global trajectories of associated vector fields with appropriate time-variable transformation tending to equilibria on invariant manifolds representing infinity. We combine standard methodology of rigorous numerical integration of differential equations with Lyapunov function validations around equilibria corresponding to divergent directions, which yields rigorous upper and lower bounds of blow-up times as well as rigorous profile enclosures of blow-up solutions.

研究の動機と目的

• 無限遠における漸近的準同次性を有するODE系における吹き出し解の厳密な数値手法の開発。
• 従来のコンパクト化に基づく検証手法を、漸近的に同次的でない系にまで拡張する。
• 準同次ベクトル場のスケーリング構造を保存する新しいクラスのコンパクト化—具体的には準放物型コンパクト化—を構築する。
• 区間演算とリャプノフ関数技術を用いて、吹き出し時間と解プロファイルの検証可能な計算を可能にする。
• 吹き出しは物理的・数学的に重要であるKeller-Segelモデルなどの系に適用可能なフレームワークを提供する。

提案手法

• 本手法は、位相空間をコンパクト多様体に埋め込むための準放物型コンパクト化を用い、無限大を境界多様体に写像する。
• 時間依存変換（特異性除去）により、元の系を再パラメータ化し、吹き出し解がコンパクト化された境界における平衡解に収束するグローバル軌道に対応させる。
• 区間算術およびアフィン算術を用いて、有限時間区間における解軌道の境界を求める厳密な数値積分を実行する。
• 境界における平衡解の近傍でリャプノフ関数を検証し、収束速度を推定し、無限大に到達するまでの時間を包囲する。
• リャプノフ関数の減衰率から得られる誤差推定を統合することで、吹き出し時間の検証可能な上界・下界を計算する。
• 変換およびベクトル場成分の多項式近似を用いて、コンパクト化系と元の力学の間のずれを包囲する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 準同次ODE系における吹き出し解は、コンパクト化に基づく手法を用いて厳密に検証可能か？
• RQ2 準同次ベクトル場の漸近的スケーリング構造を保存する適切なコンパクト化をどのように構築できるか？
• RQ3 リャプノフ関数は、誤差を保証する吹き出し時間の推定に果たす役割は何か？
• RQ4 本手法は、同次系に限らず、より一般の準同次的ダイナミクスへと拡張可能か？
• RQ5 検証可能な数値積分と区間算術を特異性除去と組み合わせることで、吹き出しプロファイルおよび吹き出し時間の包囲をどのように行えるか？

主な発見

• 本稿では、準同次系に一般化されたPoincaré型コンパクト化を拡張する新しいクラスのコンパクト化—準放物型コンパクト化—を導入する。
• 吹き出し解は、特異性除去されたベクトル場のグローバル軌道として、コンパクト化された境界における平衡解に収束するものとして特徴付けられ、厳密な検証が可能になる。
• リャプノフ関数の減衰推定を統合することで、誤差を保証する吹き出し時間の上界・下界が計算され、区間算術から導かれる誤差境界が用いられる。
• 境界平衡解の近傍における解軌道の包囲を境界づけることで、吹き出し解の検証可能なプロファイル包囲が達成される。
• k=1の場合、吹き出し時間の上界は明示的に計算され、t_{\text{max}} \leq t_N + \frac{1}{c_{\tilde{N}}} \left\{ 2\|v_1\|c_1^{-1/2}L^{1/2} + \sum_{j=2}^{\max\{2\beta_i\}} \frac{2}{j}\|v_j\|_{\infty}c_1^{j/2-1}L^{j/2} \right\} と表される。ここでLはリャプノフ関数の値である。
• 本手法は、h(u,v) = u^2 - v のような非同次スケーリングを有する系にも適用可能であり、標準的な同次コンパクト化では扱えない系にも適用可能である。