[論文レビュー] Numerical verification of a gap condition for linearized NLS

Laurent Demanet, Wilhelm Schlag|ArXiv.org|Aug 13, 2005

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、3次元の線形化された立方非線形シュレーディンガー方程式におけるスペクトルギャップ条件を、Birman-Schwinger法と1/|x−y|カーネルに対するスペクトル的に正確な台形則を用いて数値的に検証する。$L_+$と$L_-$がギャップ$(0, \alpha^2]$に固有値や共鳴状態を持たないことが確認され、$\beta > \beta_* \approx 0.913958905$に対してギャップ性質が成立することが示され、これは孤立波の条件付き漸近的安定性に不可欠である。

ABSTRACT

We make a detailed numerical study of the spectrum of two Schroedinger operators L_- and L_+ arising in the linearization of the supercritical nonlinear Schroedinger equation (NLS) about the standing wave, in three dimensions. This study was motivated by a recent result of the second author on conditional asymptotic stability of solitary waves in the case of a cubic nonlinearity. Underlying the validity of this result is a spectral condition on the operators L_- and L_+, namely that they have no eigenvalues nor resonances in the gap (a region of the positive real axis between zero and the continuous spectrum,) which we call the gap property. The present numerical study verifies this spectral condition, and further shows that the gap property holds for NLS exponents of the form 2*beta + 1, as long as beta_* < beta <= 1, where beta_* = 0.913958905 +- 1e-8. Our strategy consists of rewriting the original eigenvalue problem via the Birman-Schwinger method. From a numerical analysis viewpoint, our main contribution is an efficient quadrature rule for the kernel 1/|x-y| in R^3, i.e., provably spectrally accurate. As a result, we are able to give similar accuracy estimates for all our eigenvalue computations. We also propose an improvement of the Petviashvili's iteration for the computation of standing wave profiles which automatically chooses the radial solution.

研究の動機と目的

• 3次元線形化NLSにおけるスペクトルギャップ条件の検証、これは孤立波の条件付き漸近的安定性に不可欠である。
• ギャップ$(0, \alpha^2]$に$L_+$が固有値を有するようになる閾値$\beta_*$を特定すること。
• NLS線形化から生じるシュレーディンガー作用素の固有値を計算する、数値的に安定で再現可能な手法の開発。
• 立脚波形の計算におけるPetviashvili反復法の収束性と球対称性の向上。
• 数値フレームワークの公開と再現可能性の確保。

提案手法

• Birman-Schwinger法を用いて$L_\pm$の固有値問題をコンパクト作用素の固有値問題に変換する。
• $\mathbb{R}^3$における$1/|x-y|$カーネルに対して、保証されたスペクトル的正確な台形則を実装し、高精度な固有値計算を可能にする。
• フーリエ変換を用いた球対称スペクトル法により、Petviashvili反復法を用いてソリトン波形$\phi$を計算し、自動的に球対称性を保証する。
• Petviashvili定数$M_n$とEuler-Lagrangeの残差$\| -\Delta\phi_n + \phi_n - \phi_n^{2\beta+1} \|_{L^2}$を用いて収束をモニタリングする。
• Birman-Schwinger作用素$K_\pm$の最大固有値を計算し、ギャップ内に固有値が存在するかを検出する：$\lambda_2(K_-) < 1$および$\beta_*$で$\lambda_5(K_+)$が1を通過する。
• $L=25$, $N=200$の高分解能計算と立方補間を用い、$\beta_*$を8桁の精度で推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形化NLS作用素$L_+$は$\beta \leq 1$に対してギャップ$(0, \alpha^2]$に固有値を有するか？
• RQ2 $\beta_*$の臨界値は何か？ すなわち、$\beta < \beta_*$ではギャップ条件が成立しなくなる。
• RQ3 $\mathbb{R}^3$における$1/|x-y|$カーネルに対して、高精度な固有値計算を可能にするスペクトル的に正確な台形則を構築可能か？
• RQ4 Petviashvili反復法をどのように改善すれば、球対称性を保ちながら基底状態に収束できるか？
• RQ5 スペクトルギャップ条件の計算に用いる数値フレームワークは再現可能で、公開可能か？

主な発見

• $\beta > \beta_* \approx 0.913958905 \pm 10^{-8}$の範囲でギャップ条件が成立し、超臨界NLSにおける孤立波の条件付き漸近的安定性のスペクトル的要件が確認された。
• $K_+$の5番目の固有値$\lambda_5(K_+)$が$\beta_*$で1を通過する。これは$L_+$のギャップ内に離散固有値が出現し始める兆しなり、$\beta_*$が臨界点であることを示している。
• 本手法により、$\mathbb{R}^3$における$1/|x-y|$カーネルに対してスペクトル的正確性を達成し、誤差推定付きの信頼性の高い固有値計算が可能となった。
• 改良されたPetviashvili反復法は、マシン精度まで収束し、球対称性が16桁の精度で保持された。
• 数値実験は完全に再現可能であり、関連するMATLABコードはhttp://www.acm.caltech.edu/~demanet/NLS/にて公開されている。
• 本研究により、$L_-$は$(0, \alpha^2]$に固有値や共鳴状態を持たないことが確認され、$L_+$は$\beta < \beta_*$のときのみギャップ内に1つの固有値を有する。