[論文レビュー] Numerical verification of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for hyperelliptic curves of higher genus over $\mathbb Q$ up to squares

Raymond van Bommel|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有理数体 ℚ 上の双曲的曲線のヤコビアンについて、genus 2, 3, 4, 5 に対して、モジュラー手法に依存せずに、Birch and Swinnerton-Dyer 予想の数値的検証を提示している。Néron 微分形式による実周期の計算を改善したアルゴリズムを導入し、予想の値が有理数の平方またはその2倍であることを高精度の範囲内で確認した。

ABSTRACT

The Birch and Swinnerton-Dyer conjecture has been numerically verified for the Jacobians of 32 modular hyperelliptic curves of genus 2 by Flynn, Leprévost, Schaefer, Stein, Stoll and Wetherell, using modular methods. In the calculation of the real period, there is a slight inaccuracy, which might give problems for curves with non-reduced components in the special fibre of their Néron model. In this present paper we explain how the real period can be computed, and how the verification has been extended to many more hyperelliptic curves, some of genus 3, 4 and 5, without using modular methods.

研究の動機と目的

• ℚ 上の genus 3, 4, 5 の曲線に対しても、モジュラー形式を用いずに、Birch and Swinnerton-Dyer 予想の数値的検証を genus 2 を超えて拡張すること。
• 従来の周期計算における微妙な不正確さを解消し、Néron 微分形式による実周期を厳密に計算するアルゴリズムを提供すること。
• BSD 公式の値を平方単位で検証し、予想される Tate–Shafarevich 群の位数が有理数の平方またはその2倍であることを確認すること。
• Galois 群による Néron モデルの成分群への作用を用いて、Tamagawa 数を計算する Magma パッケージの実装と公開すること。
• L 関数の解析接続および関数等式が数値的検証のもとで成り立つことを裏付ける証拠を提供すること。

提案手法

• 相対微分形式の層ではなく、正則層を用いた実周期を計算する明示的アルゴリズムを考案し、従来の研究における誤りを是正した。
• L 関数の数値的評価には、Magma で実装された Dokchitser と Dokchitser の逆ミンコフスキー変換法を用い、特殊値 L(A,1) の高精度計算を可能にした。
• レギュレータは、Mordell–Weil 生成子上の高さ対および算術的交点理論を用いて計算されたが、点の高さの上限が不十分なため、平方倍の不確実性を伴う。
• Tamagawa 数は、逐次的吹き増しによる正則 Néron モデルのモデル化と、特別なファイバーの成分群への Galois 群の作用を計算する新しい Magma パッケージにより算出された。
• Tate–Shafarevich 群の位数は直接計算されていないが、[PoSt99] で提示された基準を用いて、BSD 公式から得られる予想される値が有理数の平方またはその2倍であるかを検証した。
• L 関数の解析接続および関数等式の正しさを仮定したもとで検証が行われ、Ogg の公式による conductor の 2 進部分の計算も併用した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非モジュラー手法を用いて、ℚ 上の genus 3, 4, 5 の双曲的ヤコビアンに対して、Birch and Swinnerton-Dyer 予想を数値的に検証できるか？
• RQ2 特に Néron モデルの特別ファイバーに非可約成分を含む場合に、実周期をより正確に計算する方法は何か？
• RQ3 点の高さの上限が不十分な場合、レギュレータと Tamagawa 数をどの程度信頼性を持って計算できるか？
• RQ4 BSD 公式から得られる Tate–Shafarevich 群の予想される位数が、期待される平方または2倍平方の類に属するか？
• RQ5 Galois 群による成分群への作用を用いて、計算代数系に一貫性があり再現可能な Tamagawa 数の計算手法を実装できるか？

主な発見

• 著者らは、[FLSSSW] に掲載された 32 組の genus-2 曲線について、Tate–Shafarevich 群の予想される位数が整数値と 10⁻⁹ 以内で一致することを数値的に検証した。1つを除き、すべてのケースで正確に 1.000000000 に一致した。
• 係数が {-10,…,10} で判別式 ≤10⁵ である 300 組の genus-2 双曲的曲線について、約1/3 が解析的・代数的ランク1を示し、BSD 公式が平方単位で成立した。
• 係数が {-3,…,3} で判別式 ≤10⁶ である 6 組の genus-3 双曲的曲線について、本研究が genus 3 の曲線に対する BSD 予想の初の数値的検証を達成した。
• LMFDB に掲載されたほぼすべての 66,158 組の genus-2 曲線について、正則モデルと Galois 動作用法に基づく新しい Magma パッケージを用いて数時間で Tamagawa 数を計算した。
• 点の高さの上限が不十分なため、特に genus 3–5 の多くのケースでレギュレータは平方倍の不確実性を伴い、正確な値が不明であった。
• Tate–Shafarevich 群の予想される位数が、高精度の範囲内で有理数の平方またはその2倍であることが確認され、[PoSt99] の基準を満たした。これにより、BSD 予想の整合性が支持された。