[論文レビュー] Numerical wave propagation for the triangular $P1_{DG}$-$P2$ finite element pair

Colin J. Cotter|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2010

Geophysics and Gravity Measurements被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、三角形メッシュ上の線形化回転浅水域方程式に対して、$P1_{DG}$-$P2$ 非適合有限要素ペアの数値波動伝播特性を分析する。離散ヘルムホルツ分解を用いて、この手法が慣性重力波およびロスビー波に対して3次空間精度を達成することを示し、伝播しない不適切な慣性振動のみを生じさせ、これらモードを完全に除去するための速度空間制限を提案する。

ABSTRACT

Inertia-gravity mode and Rossby mode dispersion properties are examined for discretisations of the linearized rotating shallow-water equations using the $P1_{DG}$-$P2$ finite element pair on arbitrary triangulations in planar geometry. A discrete Helmholtz decomposition of the functions in the velocity space based on potentials taken from the pressure space is used to provide a complete description of the numerical wave propagation for the discretised equations. In the $f$-plane case, this decomposition is used to obtain decoupled equations for the geostrophic modes, the inertia-gravity modes, and the inertial oscillations. As has been noticed previously, the geostrophic modes are steady. The Helmholtz decomposition is used to show that the resulting inertia-gravity wave equation is third-order accurate in space. In general the \pdgp finite element pair is second-order accurate, so this leads to very accurate wave propagation. It is further shown that the only spurious modes supported by this discretisation are spurious inertial oscillations which have frequency $f$, and which do not propagate. The Helmholtz decomposition also allows a simple derivation of the quasi-geostrophic limit of the discretised $P1_{DG}$-$P2$ equations in the $β$-plane case, resulting in a Rossby wave equation which is also third-order accurate.

研究の動機と目的

• 線形化回転浅水域方程式に対して、非構造的三角形メッシュ上での $P1_{DG}$-$P2$ 有限要素ペアの波動伝播挙動を分析すること。
• 特に非構造グリッド上での地球流体動力学における混合有限要素法における不適切なモードの課題に対処すること。
• $P1_{DG}$-$P2$ ペアが伝播しない不適切な慣性振動のみを支持することを示し、これにより速度空間の制限によりこれらのモードを完全に除去できることを示すこと。
• 慣性重力波およびロスビー波に対して、この手法が3次空間精度を達成することを示し、波分散特性を改善すること。
• 地理的バランスを保ちつつ、適応的メッシュ細分化および数値的気象予測への応用を可能にするフレームワークを提供すること。

提案手法

• $P2$ 圧力空間から導かれるポテンシャルを用いて、速度空間の離散ヘルムホルツ分解を適用し、地理的バランスモード、慣性重力波モード、慣性モードを分離する。
• 連続有限要素法の $P2$ と同等の離散慣性重力波方程式を導出し、3次空間精度を確立する。
• $\beta$-平面の場合を準地理的極限を用いて分析し、得られるロスビー波方程式が同様に3次精度であることを示す。
• 非地理的成分を除去するための射影を施すことで、不適切な慣性振動を完全に排除できる制限付き $P1_{DG}$ 速度空間（$H(P2)$ と表記）を提案する。
• 等辺三角形メッシュ上での数値分散解析を用いて、分散関係の精度を検証する。
• 質量のラumping技術を活用し、波の精度と地理的バランスを維持したまま計算効率を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非構造的三角形メッシュ上での $P1_{DG}$-$P2$ 有限要素ペアの慣性重力波およびロスビー波の波動伝播精度はどの程度か？
• RQ2 $P1_{DG}$-$P2$ 離散化が支持する不適切なモード（もし存在するならば）はどのようなものか？ そして、それらは波動ダイナミクスにどのように影響を与えるか？
• RQ3 離散ヘルムホルツ分解を用いて物理的モードと不適切なモードを分離し、正確な波動方程式を導出できるか？
• RQ4 $P1_{DG}$-$P2$ 手法は波動伝播に対して3次空間精度を達成するか？ これにより標準的な2次精度手法と比較してどのように異なるか？
• RQ5 速度空間の制限により、不適切な慣性振動を完全に除去できるか？ また、地理的バランスや波動精度に悪影響を及えないか？

主な発見

• $P1_{DG}$-$P2$ 有限要素ペアは、慣性重力波およびロスビー波の両方の伝播に対して3次空間精度を達成し、標準的な2次精度手法と比較して分散精度を顕著に向上させる。
• 存在する唯一の不適切なモードは、周波数 $f$ における伝播しない慣性振動であり、物理的波モードとは分離されており、地理的バランスに影響を及ぼさない。
• 制限付き速度空間（$H(P2)$）を定義することで、不適切な慣性振動を完全に除去でき、結果としていかなる不適切なモードも存在しない手法が得られる。
• $P1_{DG}$-$P2$ 離散化の準地理的極限は、$P2$ 連続有限要素法と同一のロスビー波方程式を導き、3次精度を裏付ける。
• この手法は定常的な地理的バランスモードを維持し、任意の非構造的三角形メッシュ上でも正確な波動表現を保つ。
• 質量のラumpingは分散関係にほとんど影響を及ぼさず、波の精度を維持するとともに、効率的な時間積分を可能にする。