[論文レビュー] Nurowski's conformal structures for (2,5)-distributions via dynamics of abnormal extremals

Andrei Agrachev, Igor Zelenko|ArXiv.org|May 2, 2006

Advanced Differential Geometry Research参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、カルタンの同値法や高次元のフレーム bundle を用いずに、異常極値曲線と射影平面上の接二次曲線を用いて、(2,5)-分布に対するヌルロウスキーの符号数 (3,2) の共形構造の幾何的構成を提示する。主な結果は、分布の基本不変量であるカルタン共変二進四次形式が、射影平面上の曲線の第二ウィルツィンスキー不変量に一致することを示している。

ABSTRACT

As was shown recently by P. Nurowski, to any rank 2 maximally nonholonomic vector distribution on a 5-dimensional manifold M one can assign the canonical conformal structure of signature (3,2). His construction is based on the properties of the special 12-dimensional coframe bundle over M, which was distinguished by E. Cartan during his famous construction of the canonical coframe for this type of distributions on some 14-dimensional principal bundle over M. The natural question is how "to see" the Nurowski conformal structure of a (2,5)-distribution purely geometrically without the preliminary construction of the canonical frame. We give rather simple answer to this question, using the notion of abnormal extremals of (2,5)-distributions and the classical notion of the osculating quadric for curves in the projective plane. Our method is a particular case of a general procedure for construction of algebra-geometric structures for a wide class of distributions, which will be described elsewhere. We also relate the fundamental invariant of (2,5)-distribution, the Cartan covariant binary biquadratic form, to the classical Wilczynski invariant of curves in the projective plane.

研究の動機と目的

• カルタンの同値法や高次元フレーム bundle に依存せずに、(2,5)-分布に対するヌルロウスキーの符号数 (3,2) の共形構造の幾何的・内禀的構成を提供すること。
• 異常極値曲線の射影双対束上の力学から、標準的共形構造が自然にどのように生じるかを明確にすること。
• (2,5)-分布の基本不変量と、射影微分幾何学からの古典的不変量との直接的な関係を確立すること。
• カルタン共変二進四次形式が、射影平面内の曲線の第二ウィルツィンスキー不変量に一致することを示すこと。

提案手法

• 双対束 $(D^2)^\perp \setminus (D^3)^\perp$ 上に特徴的直線分布を定義し、その積分曲線が異常極値曲線であることを示す。
• 双対束を射影化して ${\mathbb{P}}(D^2)^\perp$ を得る。ここで特徴的分布は準接触構造を誘導する。
• 射影化接空間束上の標準的代表元を用いて、各異常極値曲線に対し射影平面上の曲線を関連付ける。
• 射影曲線にオシュレーティング二次曲線およびウィルツィンスキー不変量の理論を適用し、特に第二ウィルツィンスキー不変量に注目する。
• ウィルツィンスキー不変量の再パrameter化則（シュワーツ微分を含む）を用いて、標準的射影パラメータを特定する。
• 射影空間 $\mathbb{P}^3$ 内の曲線の第二ウィルツィンスキー不変量が、定数倍 35 の因子を除き、カルタン共変二進四次形式に一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カルタンの同値法を用いずに、異常極値曲線の力学から、ヌルロウスキーの符号数 (3,2) の共形構造を幾何的にどのように構成できるか。
• RQ2 射影平面上の接二次曲線が、(2,5)-分布の異常極値曲線に対応する曲線に対して果たす幾何的役割は何か。
• RQ3 (2,5)-分布の基本不変量（カルタン共変二進四次形式）は、射影微分幾何学の古典的不変量とどのように関係しているか。
• RQ4 射影空間 $\mathbb{P}^3$ 内の曲線の第二ウィルツィンスキー不変量を、(2,5)-分布の基本不変量として解釈できるか。
• RQ5 ラグランジュ的 2-平面の文脈において、第一ウィルツィンスキー不変量の微分と第二ウィルツィンスキー不変量との間の明確な関係は何か。

主な発見

• 異常極値曲線に対応する $\mathbb{P}^3$ 内の曲線の第二ウィルツィンスキー不変量は、定数倍 35 の因子を除き、カルタン共変二進四次形式に一致する。
• 4次元シンプレクティック空間内のラグランジュ的 2-平面に対応する曲線では、第一ウィルツィンスキー不変量は恒等的に 0 になる。これは $\dim Z = 4$ の設定における $m=2$ の場合に該当する。
• 第一ウィルツィンスキー不変量の微分は、$\frac{1}{5}$ の因子を除き、元の $\mathbb{P}^3$ 内の曲線の第二ウィルツィンスキー不変量に一致する。
• 曲線上の標準的射影構造は、ウィルツィンスキー展開における係数 $B_{k-2}$ が消えるパラメータによって特徴づけられる。
• シュワーツ微分を含む再パラメータ化則により、ウィルツィンスキー不変量が射影不変量として保たれ、射影パラメータの選択に依存しないことが保証される。
• 本構成により、射影平面 $\mathbb{P}^2$ 内の射影化異常極値曲線の接二次曲線を用いた、ヌルロウスキー共形構造の直接的・幾何的実現が得られる。