[論文レビュー] Nyldon words

Émilie Charlier, Manon Philibert+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2018

semigroups and automata theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、任意の有限語の辞書的非減少要因分解として一意に定義される、Nyldon 語と呼ばれる新しい語の族を導入する。これは Lyndon 語の双対的対応物である。Nyldon 語が辞書的降順順序における自由モノイドの完全な要因分解を形成することを証明し、右 Lazard 集合を構成することを確立する。これにより、語の組合せ論における要因分解理論が拡張される。

ABSTRACT

The Chen-Fox-Lyndon theorem states that every finite word over a fixed alphabet can be uniquely factorized as a lexicographically nonincreasing sequence of Lyndon words. This theorem can be used to define the family of Lyndon words in a recursive way. If the lexicographic order is reversed in this definition, we obtain a new family of words, which are called the Nyldon words. In this paper, we show that every finite word can be uniquely factorized into a lexicographically nondecreasing sequence of Nyldon words. Otherwise stated, Nyldon words form a complete factorization of the free monoid with respect to the decreasing lexicographic order. Then we investigate this new family of words. In particular, we show that Nyldon words form a right Lazard set.

研究の動機と目的

• 辞書的降順順序において Lyndon 語の双対的対応物として、Nyldon 語と呼ばれる新しい語の族を定義すること。
• 任意の有限語が、Nyldon 語の辞書的非減少列に一意に分解可能であることを証明すること。
• Nyldon 語の構造的・代数的性質、特に要因分解理論における役割を調査すること。
• Nyldon 語が右 Lazard 集合を形成することを確立し、自由モノイドにおける Lazard 集合の既知の結果を拡張すること。

提案手法

• 標準的な Lyndon 語の定義の双対的である再帰的構成により Nyldon 語を定義し、辞書的非減少要因分解を用いる。
• Chen-Fox-Lyndon 定理を基盤とし、辞書的順序を反転させて新しい語の族を生成する。
• 語の順序に関する組合せ論的議論を用いて、Nyldon 語への非減少要因分解の存在と一意性を証明する。
• 接頭語フリーな生成と要因分解閉包の条件を満たすことで、Nyldon 語の集合が右 Lazard 集合の要件を満たすことを検証する。
• 既知の Lazard 集合に関する結果を応用し、Nyldon 語が反復的な右分岐構成によって自由モノイドを生成できることを示す。
• Lyndon 語と Nyldon 語の間の双対性を活用し、よく知られた Lyndon 要因分解からの構造的知見を新しい語の族に移転する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有限語は、辞書的非減少列に一意に分解可能か？
• RQ2 辞書的順序の双対性の下で、Nyldon 語の構造は Lyndon 語のそれとどのように比較できるか？
• RQ3 Nyldon 語は、辞書的降順順序における自由モノイドの完全な要因分解系を形成するか？
• RQ4 Nyldon 語の集合は右 Lazard 集合であるか？ もしそうであれば、その分類を支持する性質は何か？
• RQ5 Nyldon 語への非減少要因分解から、どのような代数的・組合せ論的性質が生じるか？

主な発見

• 任意の有限語が、辞書的非減少列に一意に分解可能であり、これにより Nyldon 語は自由モノイドの完全な要因分解基底を形成する。
• Nyldon 語は、辞書的順序を反転させた双対的構造として定義され、非増加要因分解性を有する。
• Nyldon 語の族は右 Lazard 集合を形成する。これは、要因分解完全性を保つ右分岐アルゴリズムによる生成が可能であることを意味する。
• Nyldon 語の構成により、集合に属する語のいずれの語も他の語の真の接頭語にはならず、Lazard 集合の重要な条件を満たす。
• Nyldon 語の特徴的な非減少要因分解性は、よく知られた Lyndon 語の非増加要因分解性と双対的である。これにより、語の組合せ論における双対性が完成する。
• 結果として、自由モノイドにおける要因分解理論が、Lyndon 語と類似する構造的特徴を有する新しい標準的要因分解系の導入によって拡張される。