[論文レビュー] O-minimal cohomology and definably compact definable groups

Mário J. Edmundo|ArXiv.org|Dec 7, 2000

Advanced Topology and Set Theory参考文献 2被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、実閉体のo-極小拡張における定義可能多様体のためのo-極小コホモロジー理論を構築し、定義可能コンパクトな定義可能群におけるねじれ点に関するPeterzil-Steinhorn問題を解決する。主な結果として、次元 $ n $ の定義可能コンパクトかつ定義可能連結な定義可能アーベル群 $ G $ に対して、基本群 $ \pi_1(G) \cong \mathbb{Z}^n $ であり、各 $ k > 1 $ に対して $ k $-ねじれ部分群 $ G[k] \cong (\mathbb{Z}/k\mathbb{Z})^n $ であることが示され、$ G $ のo-極小オイラー特徴量はゼロである。

ABSTRACT

Let N be an o-minimal expansion of a real closed field. We develop cohomology theory for the category of N-definable manifolds and N-definable maps, and use this to solve the Peterzil-Steinhorn problem on the existence of torsion points on N-definably compact N-definable abelian groups. We compute the cohomology rings of N-definably compact N-definable groups, and we prove an o-minimal analog of the Poincare duality theorem, the Alexander dualti theorem, the Lefschetz duality theorem and the Lefschetz fixed point theorem.

研究の動機と目的

• 実閉体のo-極小拡張 $ \mathcal{N} $ における $ \mathcal{N} $-定義可能多様体と連続な $ \mathcal{N} $-定義可能写像のなす圏に対するコホモロジー理論を構築すること。
• 定義可能コンパクトかつ定義可能連結な $ \mathcal{N} $-定義可能アーベル群におけるねじれ点の存在に関するPeterzil-Steinhorn問題を解決すること。
• $ \mathcal{N} $-定義可能コンパクトかつ定義可能連結な $ \mathcal{N} $-定義可能群のコホモロジールーブを計算すること。
• o-極小設定における双対性定理（ポincare、アレクサンダー、リーマン）およびリーマン固定点定理を確立すること。

提案手法

• 本稿は、ハウスドルフな定義可能多様体と連続な定義可能写像のなす圏を用いて、A. Woerheideのo-極小ホモロジーの技術を拡張することで、o-極小コホモロジーを構成する。
• 定義可能多様体におけるo-極小構造におけるPoincaré双対性、アレクサンダー双対性、およびリーマン双対性を確立する。
• 定義可能写像に対してリーマン固定点定理を証明し、一般化されたジョルダン＝ブロワーの分離定理を導く。
• 定義可能コンパクトかつ定義可能連結な定義可能群のコホモロジールーブは、古典的リー群コホモロジーへの移行および [ e2 ] と [ pps1 ] の結果を用いて計算される。
• 中心が自明な単純群とその普遍被覆を含む拡張を用いて、定義可能コンパクトな定義可能群の構造を分析する。
• リー代数 $ \mathfrak{g} $ のための同型 $ H^*(G;R) \cong H^*(\mathfrak{g};R) $ を用い、コンパクトリー群のコホモロジーに関する既知の結果をo-極小設定に応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $ n $ の定義可能コンパクトかつ定義可能連結な定義可能アーベル群は、すべて基本群が $ \mathbb{Z}^n $ に同型であるか？
• RQ2 このような群の各 $ k $-ねじれ部分群 $ G[k] $ は $ (\mathbb{Z}/k\mathbb{Z})^n $ に同型であるか？
• RQ3 定義可能コンパクトかつ定義可能連結な定義可能群のo-極小オイラー特徴量は何か？
• RQ4 o-極小コホモロジーを用いて、定義可能コンパクトかつ定義可能連結な定義可能群のコホモロジールーブを計算できるか？
• RQ5 代数的トポロジーにおける古典的双対性定理は、o-極小圏においても成り立つか？

主な発見

• 次元 $ n $ の定義可能コンパクトかつ定義可能連結な定義可能群 $ G $ のo-極小オイラー特徴量はゼロである。
• アーベル群 $ G $ に対して、基本群は $ \pi_1(G) \cong \mathbb{Z}^n $ を満たす。
• 各 $ k > 1 $ に対して、$ k $-ねじれ部分群 $ G[k] \cong (\mathbb{Z}/k\mathbb{Z})^n $ である。
• 群 $ G $ のコホモロジールーブは、リー群の構造を反映する外積代数 $ \bigwedge[x_1, \dots, x_n]_R $ に同型である。
• アーベルかつ単連結な $ G $ に対して、コホモロジールーブ $ H^*(G; \mathbb{Z}_p) $ はすべての $ p $ に対して $ p $-ねじれ自由であり、リー型に依存する明示的な境界が存在する。
• 定義可能半単純な $ G $ に対して、基本群 $ \pi_1(G) $ は有限であり、その単純因子の普遍被覆の中心の積の部分群に同型である。