[論文レビュー] Oberwolfach Report: Spacetime Intrinsic Flat Convergence

Christina Sormani|arXiv (Cornell University)|May 22, 2018

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、宇宙論的時間関数を用いて空時空の内挿的平坦（SF）収束を定義するための光線距離関数を導入し、ローレンツ多様体に対しても内挿的平坦収束を適用可能にする。この手法により、極限において因果関係が保存され、ビッグバンおよびブラックホール時空のコンパクト性定理と安定性結果が得られる。

ABSTRACT

This Oberwolfach report describes published work with Carlos Vega introducing the null distance on a spacetime, and announces unpublished applications of this work jointly with Carlos Vega and with Anna Sakovich applying the null distance to define a spacetime intrinsic flat convergence (SF convergence). The announced work with Vega concerns convergence of sequences of big bang spacetimes and the announced work with Anna Sakovich concerns convergence of future maximal developments of initial data sets. Both were originally announced at the 2018 JMM. This report lists some open questions that will be discussed at the Oberwolfach meeting this coming August.

研究の動機と目的

• リーマン幾何における内挿的平坦収束に類似した時空の収束概念を構築すること。これは、長く細い重力井戸や特異点を持つ列に適している。
• 内挿的平坦収束をローレンツ多様体に適用する課題に対処すること。ローレンツ多様体は距離空間構造を持たず、標準的な等長埋め込みも使用できない。
• 正則な宇宙論的時間関数から導かれる光線距離関数を用いて、因果関係が極限で保存される時空の内挿的平坦距離を定義すること。
• 光線距離が因果関係を符号化するような距離空間を定義する条件を確立し、これによりローレンツ幾何における積分的カレント空間を用いることが可能になること。
• ビッグバン時空および最大発展時空の列に対して、SF収束下でのコンパクト性定理を確立し、極限が因果構造を符号化する積分的カレント空間となること。

提案手法

• 時空の点 $p$ から $q$ への折れ線的因果的曲線 $\beta$ 全体を走査して、$\hat{d}_{\tau}(p,q) = \inf_{\beta} \sum_{i=1}^{k} |\tau(\beta(t_i)) - \tau(\beta(t_{i+1}))|$ を定義する。ここで $\tau$ は時間関数である。
• 有限で、過去に無限に延びる曲線に沿って 0 に収束する正則な宇宙論的時間関数 $\tau$ を用いることで、$\hat{d}_{\tau}$ が距離空間を定義することを保証する。
• $\hat{d}_{\tau}$ が因果関係を符号化することを証明する：$p$ が $q$ の未来にあることと $\hat{d}_{\tau}(p,q) = \tau(p) - \tau(q)$ が同値であること。これにより、正定値性と距離構造が保証される。
• 正則な $\tau$ を持つ時空から、距離空間 $ (X, \hat{d}_{\tau}) $ を構成し、これにより積分的カレント空間構造を定義可能とする。
• 得られた積分的カレント空間同士の $\mathcal{F}$-距離を用いて、時空の内挿的平坦距離 $ d_{\mathcal{SF}} $ を定義する。これは共通の距離空間 $Z$ への等長埋め込みを用いる。
• 本理論をビッグバン時空（例：FLRW）および未来最大発展に適用し、ビッグバン点 $p_{BB}$ が距離空間の完備化に存在し、$\tau(p) = \hat{d}_{\tau}(p_{BB}, p)$ が成り立つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのローレンツ多様体が、正則な宇宙論的時間関数を備え、光線距離 $\hat{d}_{\tau}$ が距離空間を定義可能となるか？
• RQ2 光線距離 $\hat{d}_{\tau}$ が因果関係を符号化する条件は何か？特に、$p$ が $q$ の未来にあることと $\hat{d}_{\tau}(p,q) = \tau(p) - \tau(q)$ が同値となる条件は？
• RQ3 初期データセットの未来最大発展は、初期コーシー面で 0 に収束する宇宙論的時間関数を持ち、その光線距離が因果関係を符号化するか？
• RQ4 $\mathcal{SF}$ 収束フレームワークを用いて、質量が 0 に近づくブラックホール時空の列に対してコンパクト性定理を証明できるか？
• RQ5 最大スライシングや他の幾何的フローに基づくような、代替的な標準的時間関数は、アインシュタイン方程式の未来最大発展を研究するのに適しているか？

主な発見

• 正則な宇宙論的時間関数 $\tau$ を持つとき、光線距離 $\hat{d}_{\tau}$ は距離空間を定義する。これは Anderson-Howard-Galloway が定義した通りである。
• 光線距離 $\hat{d}_{\tau}$ が因果関係を符号化するとき、正定値性を満たし、したがって適切な距離構造を持つ。これにより、空間は内挿的平坦収束に適したものとなる。
• FLRW ビッグバン時空で $\tau = t$ のとき、距離空間の完備化 $\bar{X}$ には一意なビッグバン点 $p_{BB}$ が存在し、$\tau(p) = \hat{d}_{\tau}(p_{BB}, p)$ が成り立つ。
• このような時空では、$p_{BB}$ を基点とするポイント付き $\mathcal{F}$-収束が適切に定義され、極限は因果構造を光線距離が符号化する積分的カレント空間となる。
• 本手法により、$\mathcal{SF}$ 収束下でビッグバン時空の列に対するコンパクト性定理が証明可能であり、極限は積分的カレント空間となる。
• 質量が 0 に近づくブラックホール時空の列は、$\mathcal{SF}$ 収束において収束すると予想され、光線距離が因果関係を保存するため、正質量定理およびペンローズ予想の安定性結果が得られる。