[論文レビュー] Oblique boundary value problems for augmented Hessian equations III

Feida Jiang, Neil S. Trudinger|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 45被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一般の有界領域上で、非退化および退化する拡張ヘッシアン方程式の半線形斜交境界値問題に対して、全域リプシッツかつ内部で$C^{1,1}$解の存在および一意性を確立する。領域の凸性を仮定しない。境界における局所的2階微分係数の推定と粘性比較原理の証明により、一様凸性条件が満たされる境界点付近で解がより高い正則性を示すことを示している。

ABSTRACT

In bounded domains, without any geometric conditions, we study the existence and uniqueness of globally Lipschitz and interior strong C^{1,1}, (and classical C^2), solutions of general semilinear oblique boundary value problems for degenerate, (and non-degenerate), augmented Hessian equations, with strictly regular associated matrix functions. By establishing local second derivative estimates at the boundary and proving viscosity comparison principles, we show that the solution is correspondingly smooth near boundary points where the appropriate uniform convexity is satisfied.

研究の動機と目的

• 一般の有界領域上で、幾何的制約なしに拡張ヘッシアン方程式を含む半線形斜交境界値問題の解の存在および一意性を確立すること。
• 領域およびデータに関する最小限の仮定の下で、解が全域リプシッツであり、内部で$C^{1,1}$正則性を有することを証明すること。
• 一様凸性条件の下で境界における局所的2階微分係数推定を導出し、境界点付近でのより高い正則性を可能にすること。
• 粘性比較原理の導入と演算子$F$に関する仮定の精錬により、退化ケースへの理論の拡張を図ること。
• 領域の凸性仮定を排除し、厳密に正則な行列関数$A$へと一般化することにより、先行研究を拡張すること。

提案手法

• 拡張ヘッシアン作用素$\mathcal{F}[u] = F(D^2u - A(\cdot,u,Du))$の構造とバリア構成を用いて、境界における局所的2階微分係数推定を導出する。
• 異なる$F$に関する仮定の下で、$C^{1,1}(\Omega) \cap C^{0,1}(\overline{\Omega})$および$C^{2}(\Omega) \cap C^{0,1}(\overline{\Omega})$における解のための粘性比較原理を確立する。
• 正則化問題における$\epsilon$-摂動を用いて近似解$u_\epsilon$を構成し、その後$\epsilon \to 0$の極限に移行することで、全域的正則性を回復する。
• 前人研究の厳密な下位解法およびバリア技術を応用し、$\varphi$が$z$に関して厳密に増加する場合の比較原理を証明する。
• 演算子$F$がF1（厳密に増加）、F2（凹性）、F3（範囲条件）、F4（無限遠における成長）、およびF5（方向微分の一様下界）の洗練版を満たすと仮定する。
• 直交不変構造と$A$の厳密な正則性を用いて、非退化ケースを超えて、$a_0 = -\infty$の場合にも結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の有界領域上で、退化する拡張ヘッシアン方程式を含む半線形斜交境界値問題に対して、解が存在する条件は何か？
• RQ2 領域の凸性を仮定しない場合、境界における局所的2階微分係数推定をどのように確立できるか？
• RQ3 斜交境界条件が存在する状況で、$C^{1,1}$および$C^2$解の一意性を保証する条件は何か？
• RQ4 粘性解理論が、古典的$C^{1,1}$または$C^{2}$解に拡張されるのはどのような場合か？
• RQ5 局所的一様凸性が満たされる場合、解の正則性は内部から境界へどのように伝播するか？

主な発見

• F1条項の下で、解は$C^{1,1}(\Omega) \cap C^{0,1}(\overline{\Omega})$のクラスに存在し、一意的である。退化ケースでも同様である。
• 非退化ケースでは、F1条項の下で解は$C^{2,\alpha}(\Omega) \cap C^{0,1}(\overline{\Omega})$（$\alpha \in (0,1)$）に属する。
• 境界点$x_0 \in \partial\Omega$において一様$(\Gamma,A,G)$-凸性が満たされる近傍$\mathcal{N} = B_{\theta R}(x_0) \cap \Omega$において、局所的2階微分係数推定が一様に成り立つ。
• $\sup_{\mathcal{N} \cap \Omega} |D^2 u_\epsilon| \leq C$という境界は$\epsilon$に依存せず、$\epsilon \to 0$の極限において$C^{1,1}$正則性を回復可能である。
• $\varphi$が$z$に関して厳密に増加する場合のケース(i)および$A$が$z$に関して厳密に増加する場合のケース(ii)において、比較原理により$C^{1,1}(\Omega) \cap C^{0,1}(\overline{\Omega})$における一意性が導かれる。
• $a_0 = -\infty$の場合には、領域$D = \{ r \in \Gamma \mid F(r) > a_0 \}$を再定義することで、同じ構造的仮定の下で存在性および正則性が保たれる。