[論文レビュー] Oblique projections and Schur complements

Gustavo Corach, Alejandra Maestripieri+1 more|ArXiv.org|Jun 16, 2000

Advanced Topics in Algebra参考文献 20被引用数 57

ひとこと要約

本稿は、自己共役作用素 A によって誘導される有界な半双線形形式に関して、自己随伴である斜交射影を検討し、閉部分空間 S への A-自己随伴射影の存在および特徴付けに焦点を当てる。主な貢献は、このような射影と S⊥ に対する A のシュール補行列（短縮作用素）との直接的な関係を確立したことである。すなわち、A-自己随伴射影の集合が空でない（相性がとれる）ことと、シュール補行列が適切に定義されて特定の作用素不等式を満たすこととは同値であり、最小ノルム解が明示的に導出されている。

ABSTRACT

Let H be a Hilbert space, L(H) the algebra of all bounded linear operators on H and _A : H imes H o C the bounded sesquilinear form induced by a selfadjoint A in L(H), < ξ, η>_A = < A ξ, η>, ξ, ηin H. Given T in L(H), T is A-selfadjoint if AT = T^*A. If S \subseteq H is a closed subspace, we study the set of A-selfadjoint projections onto S, P(A, S) = {Q in L(H): Q^2 = Q, R(Q) = S, AQ = Q*A} for different choices of A, mainly under the hypothesis that A\geq 0. There is a closed relationship between the A-selfadjoint projections onto S and the shorted operator (also called Schur complement) of A to S^\perp. Using this relation we find several conditions which are equivalent to the fact that P(A, S) eq \emptyset, in particular in the case of A\geq 0 with A injective or with R(A) closed. If A is itself a projection, we relate the set P(A, S) with the existence of a projection with fixed kernel and range and we determine its norm.

研究の動機と目的

• ヒルベルト空間 H 内の閉部分空間 S への A-自己随伴射影の集合を特徴付けること。
• A が有界自己共役作用素である場合、特に A ≥ 0 の場合に、そのような射影の存在条件を調査すること。
• A-自己随伴射影と A から S⊥ へのシュール補行列（短縮作用素）との深い関係を確立すること。
• A-自己随伴射影の集合に属する最小ノルム要素の明示的公式を導出すること。
• 集合が空でない場合のパrametrizationを、特に A の正定値性および有界値域の仮定の下で提供すること。

提案手法

• A-自己随伴射影を、R(Q) = S かつ AQ = Q*A を満たす冪等作用素 Q として定義する。
• 作用素方程式 QA = AD の縮約解 D を用いて、A-自己随伴射影の構造を特徴付ける。
• A-自己随伴射影の存在と、S⊥ への A の短縮作用素 Σ(P,A) の存在との同値性を確立する。
• 任意の Q ∈ P(A,S) に対して成り立つシュール補行列の恒等式 Σ(P,A) = A(1−Q) を用いて、射影と作用素論的補完の関係を結ぶ。
• A ≥ 0 かつ集合が非空である場合、P(A,S) をアフィン多様体としてパラメータ化する。
• ノルムを最小化する射影 P_{A,S} を用い、適切な条件下でそのノルムを公式 ‖P_{A,S}‖ = (1 − ‖(1−Q)P‖²)^{-1/2} で導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた自己共役作用素 A ∈ L(H) に対して、閉部分空間 S への A-自己随伴射影が少なくとも一つ存在するための条件は何か？
• RQ2 S への A-自己随伴射影の集合は、S⊥ への A のシュール補行列（短縮作用素）とどのように関係しているか？
• RQ3 集合 P(A,S) が非空である場合、その構造はどのようなものであり、パラメータ化可能か？
• RQ4 P(A,S) に属する最小ノルム要素は何か？ そして、それを明示的に計算する方法は？
• RQ5 最小ノルム A-自己随伴射影のノルムが有界であるのはいつか？ また、作用素ノルムの観点からその正確な値は何か？

主な発見

• 集合 P(A,S) が非空（すなわち (A,S) が相性がとれる）であることは、短縮作用素 Σ(P,A) が存在することと同値であり、これはある Q ∈ P(A,S) に対して不等式 inf{λ > 0 : A(1−Q) ≤ λ(1−Q)A(1−Q)} が有限である条件と一致する。
• A ≥ 0 の場合、集合 P(A,S) はアフィン多様体であり、その最小ノルム要素 P_{A,S} は、条件 ‖(1−Q)P‖ < 1 を満たすとき、公式 ‖P_{A,S}‖ = (1 − ‖(1−Q)P‖²)^{-1/2} を満たす。
• 最小ノルム射影 P_{A,S} は一意的であり、方程式 QA = AD のある縮約解 D に対して P_{A,S} = (1 + D)^{-1} を満たす。
• A が射影作用素である場合、S への A-自己随伴射影の存在は、固定された核と像を持つ射影の存在と同値であり、そのノルムは (1 − ‖(1−Q)P‖²)^{-1/2} で与えられる。
• ker Q ∩ R(P) = {0} かつ R(P) ⊕ ker Q が閉じている場合、P_{Q,P} は核 ker Q、像 R(P) を持つ斜交射影であり、そのノルムは (1 − ‖(1−Q)P‖²)^{-1/2} である。
• 一般の P,Q ∈ P(H) に対して、最小ノルム射影 P_{Q,P} のノルムは、P₀ を R(P) ⊖ (ker Q ∩ R(P)) に沿った直交射影とするとき、公式 ‖P_{Q,P}‖ = (1 − ‖(1−Q)P₀‖²)^{-1/2} で与えられる。