[論文レビュー] Observability and Detectability of Linear Switching Systems: A Structural Approach

Elena De Santis, Maria Domenica Di Benedetto+1 more|ArXiv.org|Feb 27, 2008

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 38被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、線形スイッチングシステムにおける可観測性と検出可能性について、構造的アプローチを提案する。可観測性のための計算可能な必要十分条件を提示し、検出可能性が、ガードを備えた導出されたスイッチングシステムの漸近的安定性に帰着されることを証明する。主な貢献は、検出可能性を補助システムの安定性に関連付けるカルマン型分解を提供することであり、これにより既存の安定性理論を用いた観測器設計が可能になる。

ABSTRACT

We define observability and detectability for linear switching systems as the possibility of reconstructing and respectively of asymptotically reconstructing the hybrid state of the system from the knowledge of the output for a suitable choice of the control input. We derive a necessary and sufficient condition for observability that can be verified computationally. A characterization of control inputs ensuring observability of switching systems is given. Moreover, we prove that checking detectability of a linear switching system is equivalent to checking asymptotic stability of a suitable switching system with guards extracted from it, thus providing interesting links to Kalman decomposition and the theory of stability of hybrid systems.

研究の動機と目的

• 制御入力を用いて出力から状態を再構成可能な、線形スイッチングシステムにおける可観測性と検出可能性の定義と形式化。
• 可観測性のための計算可能な必要十分条件の提供により、アルゴリズムによる検証が可能になる。
• 検出可能性と、ガードを備えた導出されたスイッチングシステムの漸近的安定性との関連を確立し、既存の安定性理論の利用を可能にする。
• ハイブリッド状態観測器の設計を支援するため、その存在に必要な条件を明確化する。
• 特定のシステムクラスに限定されない、動的挙動に焦点を当てた可観測性と検出可能性の概念の一般化。

提案手法

• 制御入力を用いて出力からハイブリッド状態（連続的および離散的成分）を再構成できる能力として可観測性を定義する。
• スイッチング論理と遷移をモデル化するため、有限状態マシン（FSMs）とガードに基づく構造的フレームワークを導入する。
• 検出可能性解析を、元のシステムから抽出したガードを備えた導出されたスイッチングシステムの漸近的安定性の確認に還元するカルマン型分解を用いる。
• 共通のリャプノフ関数技術と行列不等式（例：(A_i')P + P A_i ≤ -Q）を用いて、部分システムの漸近的安定性を検証する。
• 特に複雑なスイッチングトポロジに対して、FSMの強連結成分における安定性を分析するために、抽象化技術を活用する。
• ハイブリッドシステムの安定性理論の結果（例：[12, 17]）を活用し、補助システムの安定性による検出可能性の検証を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形スイッチングシステムのハイブリッド状態が、適切な制御入力を用いて出力測定から再構成可能であるための条件は何か？
• RQ2 線形スイッチングシステムの検出可能性は、ガードを備えた関連スイッチングシステムの安定性の観点からどのように特徴づけられるか？
• RQ3 線形スイッチングシステムにおける可観測性とハイブリッド観測器の存在の関係は何か？
• RQ4 スイッチングシステムの検出可能性は、導出されたシステムの安定性問題に還元可能か？ もし可能であれば、その導出方法は何か？
• RQ5 スイッチングシステムの構造的特性（強連結成分やリセット写像など）は、可観測性と検出可能性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 可観測性の必要十分条件が導出され、行列および部分空間解析を用いた計算可能であることが示された。
• 線形スイッチングシステムの検出可能性は、ガードを備えた導出されたスイッチングシステムの漸近的安定性に等しい。これにより、既存の安定性ツールの利用が可能になる。
• システムが検出可能であるための必要十分条件は、ガードを備えた導出されたスイッチングシステムが漸近的に安定であることである。Q1、Q2、Q3の例で確認された。
• 例示されたシステムHは、その導出システムH0が漸近的に安定であるため、検出可能であることが示された。共通のリャプノフ関数と行列不等式のチェックにより検証された。
• システムの有限状態マシンは3つの強連結成分を有し、各成分において安定性が独立に評価され、全体の漸近的安定性が確認された。
• 本手法により、体系的な観測器設計アプローチが可能となり、可観測性が成立すればハイブリッド状態を再構成するアルゴリズムの存在が保証されるが、現在は無限精度を必要としている。