[論文レビュー] Observability and unique continuation inequalities for the Schrödinger equation

Gengsheng Wang, Ming Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2016

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、全空間における自由シュレーディンガー方程式について、二つの異なる時刻における観測に基づく、新たな可観測性および一意的拡張性の不等式を確立する。解は、空間的球体の外部で二つの時刻における観測によって一意に特定可能であることが示される。主な結果は、二つの時刻における最適な可観測性不等式であり、これは不確定性原理と同値であり、二つの時刻にのみ作用する制御によって正確な可制御性を実現可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we present several observability and unique continuation inequalities for the free Schrödinger equation in the whole space. The observations in these inequalities are made either at two points in time or one point in time. These inequalities correspond to different kinds of controllability for the free Schrödinger equation. We also find that the observability inequality at two points in time is equivalent to the uncertainty principle built up in [18].

研究の動機と目的

• 全空間における自由シュレーディンガー方程式の可観測性および一意的拡張性の不等式を、二つの異なる時刻における観測に基づいて確立すること。
• このような二時刻観測に基づく可観測性不等式と、量子力学における不確定性原理との関係を調査すること。
• 二時刻観測に基づく可観測性不等式が、[19]で確立された不確定性原理と同値であることを示すこと。
• これらの不等式がシュレーディンガー方程式の可制御性に与える影響、特にインパルス制御の文脈における意義を明らかにすること。
• 観測データに基づいて制御ノルムの定量的評価を提供し、最小限の制御エネルギーで正確な可制御性を保証すること。

提案手法

• 初期状態の $ L^2 $-ノルムを、二つの異なる時刻における解の外部空間球体上での $ L^2 $-ノルムによって上から抑える可観測性不等式 (1.5) を導出する。
• シュレーディンガー発展作用素 $ e^{i\Delta t} $ の性質とフーリエ変換を用いて、位相空間における解の振る舞いを分析する。
• 複素解析およびカルレマン推定を用いて、二時刻観測から得られる一意的拡張性を導出する。
• 二時刻観測に基づく可観測性不等式と、[19]で得られた不確定性原理との同値性を確立する。特に $ \alpha\beta < 4 $ の場合に注目する。
• 双対性の議論とヒルベルト空間の技法を用いて、初期状態から目標状態へとシステムを制御する制御の存在を証明する。
• 制御コストと近似誤差のトレードオフを定量化するために、重み付き空間 $ Q_a $ およびその双対空間 $ Q_a^* $ を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由シュレーディンガー方程式の可観測性不等式は、時間区間ではなく二つの異なる時刻における観測に基づいて確立可能か？
• RQ2 二時刻観測に基づく可観測性不等式は、量子力学における既知の不確定性原理と同値か？
• RQ3 可観測性定数の時間間隔 $ T - S $、空間的半径 $ r_1, r_2 $、位置 $ x', x'' $ に対する最適な依存関係は何か？
• RQ4 二時刻観測に基づく可観測性不等式は、インパルス制御によるシュレーディンガー方程式の可制御性とどのように関係するか？
• RQ5 与えられた近似誤差に対して、その $ L^2 $-ノルムに明示的な上限が与えられる制御を構成可能か？

主な発見

• 可観測性不等式 (1.5) は、次元 $ n $ のみに依存する定数 $ C(n) $ を用いて成り立つ。また、指数関数的因子 $ e^{C r_1 r_2 / (T - S)} $ は、改善不能であるという意味で最適である。
• 二時刻観測に基づく可観測性不等式は、[19]で示された不確定性原理と同値である。具体的には、$ \|e^{|x|^2/\alpha^2} u(\cdot,0)\|_{L^2} + \|e^{|x|^2/\beta^2} u(\cdot,1)\|_{L^2} < \infty $ かつ $ \alpha\beta < 4 $ ならば $ u \equiv 0 $ が成り立つ。
• 本稿では、$ \alpha\beta = 4 $ のとき、一意的拡張性が成立しないことを証明し、不確定性原理の鋭さを裏付ける。
• 定理 5.13 は、制御 $ h $ の $ L^2 $-ノルムに対する明示的な評価を与える。具体的には、$ \varepsilon^{-1} e^{-e^{\varepsilon^{-2}}} \|h\|_{L^2}^2 \leq C(x_0,r,a,T-\tau) \|u_T - e^{i\Delta T}u_0\|_{L^2}^2 $ が成り立ち、指数的に小さい誤差のもとでの正確な可制御性を保証する。
• 制御コストは $ \varepsilon^{-1} e^{e^{\varepsilon^{-2}}} $ のように増加し、近似誤差の逆数の指数的関数に依存する超指数的依存性を示す。これは解析的制御問題において一般的な特徴である。
• 本研究は、制御を二つの離散的時刻に施し、それぞれが空間的球体の外部で行われるインパルス制御のための新規なフレームワークを確立する。この制御により、観測データから解が回復可能である。