[論文レビュー] Observability Inequalities and Measurable Sets

Jone Apraiz, Luis Escauriaza+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2012

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 35被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、有界なリプシッツ領域で局所的にスターボリューション型の領域における熱方程式に対して、観測可能不等式を確立する。解は、空間時空域内または境界上で正の測度を有する任意の可測集合からの観測から推定可能であることを示す。主な貢献は、このような領域に対してレーベウ-ロビアンのスペクトル不等式を拡張し、任意の可測集合からの観測可能性を導出することであり、制御理論への応用、特にゼロ制御可能性や時間最適制御を可能にする。

ABSTRACT

This paper presents two observability inequalities for the heat equation over $Ω imes(0,T)$. In the first one, the observation is from a subset of positive measure in $Ω imes(0,T)$, while in the second, the observation is from a subset of positive surface measure in $\partialΩ imes(0,T)$. It also proves the Lebeau-Robbiano spectral inequality when $Ω$ is a bounded Lipschitz and locally star-shaped domain. Some applications for the above-mentioned observability inequalities are provided.

研究の動機と目的

• 空間時空域 $\Omega \times (0,T)$ 内の正の測度を有する任意の可測集合に対する熱方程式の観測可能不等式を証明すること。
• 境界 $\partial\Omega \times (0,T)$ の正の表面測度を有する部分集合に対する境界観測可能不等式を確立すること。
• 有界なリプシッツ領域で局所的にスターボリューション型の領域に対して、レーベウ-ロビアンのスペクトル不等式を証明すること。この不等式は主な結果の基盤をなす。
• 既存の観測可能不等式を開集合に限らず、任意の可測集合へと拡張し、制御理論における応用性を高めること。
• 可測観測集合を用いたゼロ制御可能性および時間最適制御の定量的推定を提供すること。

提案手法

• レーベウ-ロビアンのスペクトル不等式を基礎仮定とし、これを局所的にスターボリューション型の有界リプシッツ領域に対して証明する。
• ヴェッセラの研究に着想を得て、可測集合上での実解析関数の小さな性質の伝播推定を適用する。
• 指数的減衰重み $\gamma(t) = e^{-A/t}$ を用いたテレスコピック級数の議論により、異なる時刻における解のノルムを関連付ける。
• 時刻集合 $E \subset (0,T)$ の密度点に基づいて、時刻の列 $\{l_m\}$ を構成し、各区間内で十分な重なりを確保する。
• カルレマン型推定および周波数関数技術を用いて、特に可測観測集合が存在する状況下での解の時間的成長を制御する。
• 解の $L^2$ ノルムを観測により推定するために、スペクトル射影 $\mathcal{E}_\lambda$ 及びその直交補空間を用いて解を分解する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間時空域 $\Omega \times (0,T)$ 内の正の測度を有する任意の可測集合に対する熱方程式の観測可能不等式は確立可能か？
• RQ2 境界 $\partial\Omega \times (0,T)$ の正の表面測度を有する部分集合で観測が行われる場合、境界観測可能は成立するか？
• RQ3 有界なリプシッツ領域で局所的にスターボリューション型の領域に対して、レーベウ-ロビアンのスペクトル不等式は成立するか？
• RQ4 観測可能不等式の定数は、観測集合の幾何構造および測度にどのように依存するか？
• RQ5 これらの不等式は、ゼロ制御可能性や時間最適制御などの制御理論的問題にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 有界なリプシッツ領域で局所的にスターボリューション型の領域に対して、レーベウ-ロビアンのスペクトル不等式が成り立ち、定数は領域の幾何構造およびパラメータ $R \leq 1$ に依存する。
• 任意の可測集合 $\mathcal{D} \subset \Omega \times (0,T)$ で $|\mathcal{D}| > 0$ を満たすものに対して、観測可能不等式が証明され、$\|u(T)\|_{L^2(\Omega)} \leq N \int_{\mathcal{D}} |u(x,t)| \, dx dt$ が成り立つ。
• 正の表面測度を有する任意の可測部分集合 $\mathcal{J} \subset \partial\Omega \times (0,T)$ に対して、境界観測可能不等式が確立され、$\|u(T)\|_{L^2(\Omega)} \leq N \int_{\mathcal{J}} \left|\frac{\partial u}{\partial \nu}\right| \, d\sigma dt$ が得られる。
• 観測推定における定数 $B$ は、時刻集合 $E$ 及び観測集合 $\mathcal{D}$ の構造に依存し、可測集合の複雑さを反映する。
• 証明により定量的推定が得られる：$\|e^{T\Delta}f\|_{L^2(\Omega)} \leq N e^{zA} \int_{\mathcal{D} \cap (\Omega \times [l,l_1])} |e^{t\Delta}f(x)| \, dx dt$ であり、$A$ は領域、$R$、および $|\mathcal{D}|/T|B_R|$ に依存する。
• この結果により、二進的時間区間における解ノルムの一様有界性が得られる：$\sup_{m \geq 0} \sup_{l_{m+1} \leq t \leq l_m} e^{-z^{m+1}A} \|e^{t\Delta}f\|_{L^2(\Omega)} \leq N \int_{\mathcal{D} \cap (\Omega \times [l,l_1])} |e^{t\Delta}f(x)| \, dx dt$。