[論文レビュー] Observability inequalities from measurable sets for some evolution equations

Gengsheng Wang, Can Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2014

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ヒルベルト空間における抽象的発展方程式について、解析的半群と可適観測作用素を備えた設定、および $C_0$ 半群とスペクトル的条件を備えた設定の2つの異なる枠組みを用いて、測定可能時間集合からの可観測性不等式を確立する。主な貢献は、放物型方程式および関連系における時間最適制御問題において、測定可能集合からの可観測性がバング・バング性を示すことの証明である。

ABSTRACT

In this paper, we build up two observability inequalities from measurable sets in time for some evolution equations in Hilbert spaces from two different settings. The equation reads: $u'=Au,\; t>0$, and the observation operator is denoted by $B$. In the first setting, we assume that $A$ generates an analytic semigroup, $B$ is an admissible observation operator for this semigroup (cf. \cite{TG}), and the pair $(A,B)$ verifies some observability inequality from time intervals. With the help of the propagation estimate of analytic functions (cf. \cite{V}) and a telescoping series method provided in the current paper, we establish an observability inequality from measurable sets in time. In the second setting, we suppose that $A$ generates a $C_0$ semigroup, $B$ is a linear and bounded operator, and the pair $(A, B)$ verifies some spectral-like condition. With the aid of methods developed in \cite{AEWZ} and \cite{PW2} respectively, we first obtain an interpolation inequality at one time, and then derive an observability inequality from measurable sets in time. These two observability inequalities are applied to get the bang-bang property for some time optimal control problems.

研究の動機と目的

• ヒルベルト空間における抽象的発展方程式について、時間の可測部分集合からの可観測性不等式を確立すること。
• 従来、熱方程式などの特定のPDEに限られていた既存の可観測性結果を、半群によって支配される一般発展方程式へと拡張すること。
• これらの不等式を用いて、放物型系における時間最適制御問題のバング・バング性を証明すること。
• 解析的半群および $C_0$ 半群の両設定に適用可能な新規技術を導入することにより、既存の可観測性および制御に関する結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 最初の設定（解析的半群）においては、解析関数の伝播推定を用いて、解の成長を制御する。
• 局所的可観測性推定を測定可能集合全体にまで拡張するため、新規のテレスコピック級数法を適用する。
• 2番目の設定では、スペクトル的条件に基づく補間不等式を用い、指数的減衰性を示す部分空間に依存する。
• 仮定 (H) に従い、スペクトル射影と減衰率を含む条件下で、[2]および[29]の手法を応用して点関数的可観測性推定を導出する。
• 時間 $T$ における解のノルムの境界を、$E \subset (0,T)$ という正の測度をもつ可測集合上で観測データの $L^1$-型積分を用いて確立する。
• 双対性の議論と随伴半群解析を用いて、可観測性結果を制御問題、特に時間最適制御設定に転送する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 抽象的発展方程式について、時間の区間ではなく可測部分集合からの可観測性不等式を確立できるか？
• RQ2 生成作用素 $A$ および観測作用素 $B$ にどのような条件が課されると、可測集合からの可観測性が保証されるか？
• RQ3 可測集合からの可観測性不等式を用いて、時間最適制御の構造的性質をどのように導出できるか？
• RQ4 解析的半群およびスペクトル的条件が、正の測度をもつ集合からの可観測性を可能にする役割は何か？
• RQ5 導出された不等式が、時間最適制御問題におけるバング・バング性をどの程度まで示唆するか？

主な発見

• 本稿では、局所的可観測性不等式を満たす解析的半群と可適観測作用素を備えた場合、任意の正の測度をもつ可測部分集合 $E \subset (0,T)$ からの可観測性が成立することを証明している。
• 不等式 (1.4) における明示的定数 $C$ は、$E$、$T$、$d$、$k$、および $\|B\|_{\mathcal{L}(D(A),U)}$ に依存し、可測観測集合においても安定性を保証する。
• $C_0$ 半群と仮定 (H) の下では、点関数的補間不等式 (1.5) が導出され、時間 $t \in (0,1]$ における解のノルムが観測ノルムと初期データにリンクされる。
• 主要な不等式 (1.6) は、$\|S(T)u_0\|_X$ が、任意の正の測度をもつ可測集合 $E \subset (0,T)$ における $\|BS(t)u_0\|_U$ の $L^1$-型積分によって上から抑えられることを示している。
• これらの結果を用いて、グリューシン作用素系および係数のジャンプをもつ放物型方程式における時間最適制御問題のバング・バング性が証明されている。
• 系 3.6 および 3.7 は、それぞれグリューシン型方程式および不連続係数をもつ放物型方程式の時間最適制御におけるバング・バング性を確認している。