[論文レビュー] Observability of Baouendi-Grushin-Type Equations Through Resolvent Estimates

Cyril Letrouit, Chenmin Sun|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 28被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、$\gamma \geq 1$ における Baouendi-Grushin 演算子 $\Delta_\gamma = \partial_x^2 + |x|^{2\gamma}\partial_y^2$ に対して鋭いリゾルベント推定を確立し、Schrödinger 型方程式 $i\partial_t u - (-\Delta_\gamma)^s u = 0$ の観測可能性が比 $(\gamma+1)/s$ に強く依存することを証明している。観測可能性は、$(\gamma+1)/s < 1$ のとき任意の短時間で成立し、$(\gamma+1)/s > 1$ のときは長時間にのみ成立し、$(\gamma+1)/s = 1$ のときはすべての時間で失敗する。主な貢献は、$h^{-(\gamma+1)}$ のレートを示す多項式的リゾルベント推定であり、これは最適であり、退化する方向における伝播の精密な制御を可能にする。

ABSTRACT

In this article, we study the observability (or, equivalently, the controllability) of some subelliptic evolution equations depending on their step. This sheds light on the speed of propagation of these equations, notably in the "degenerated directions" of the subelliptic structure. First, for any $\\gamma\\geq 1$, we establish a resolvent estimate for the Baouendi-Grushin-type operator $\\Delta_\\gamma=\\partial_x^2+|x|^{2\\gamma}\\partial_y^2$, which has step $\\gamma+1$. We then derive consequences for the observability of the Schr\\''odinger type equation $i\\partial_tu-(-\\Delta_\\gamma)^{s}u=0$ where $s\\in N$. We identify three different cases: depending on the value of the ratio $(\\gamma+1)/s$, observability may hold in arbitrarily small time, or only for sufficiently large times, or even fail for any time. As a corollary of our resolvent estimate, we also obtain observability for heat-type equations $\\partial_tu+(-\\Delta_\\gamma)^su=0$ and establish a decay rate for the damped wave equation associated with $\\Delta_{\\gamma}$.

研究の動機と目的

• Baouendi-Grushin 演算子 $\Delta_\gamma$（$\gamma \geq 1$）によって駆動される弱楕円型発展方程式の観測可能性特性を分析すること。
• $(-\Delta_\gamma)^s$ のべき $s$ とステップ $\gamma+1$ が、退化する（縦方向 $y$）方向における伝播速度にどのように影響するかを理解すること。
• $\Delta_\gamma$ に対する鋭いリゾルベント推定を確立し、観測集合から離れるように集中する準モードの度合いを定量化すること。
• リゾルベントに基づく双対性を用いて、Schrödinger 型および熱型方程式の時間依存的観測可能性を特定すること。
• これらの結果を減衰波動方程式に拡張し、解のエネルギーの減衰率を導出すること。

提案手法

• $\gamma \geq 1$ に対して、$\|v\|_{L^2} \leq C\left(\|v\|_{L^2(\omega)} + h^{-(\gamma+1)}\| (h^2\Delta_\gamma + 1)v \|_{L^2} \right)$ の形のリゾルベント推定を、微局所的およびスペクトル的技法を用いて導出する。
• リゾルベント推定を双対性およびヒルベルト一意性法を用いて、Schrödinger 方程式 $i\partial_t u - (-\Delta_\gamma)^s u = 0$ に適用する。
• リゾルベント推定を用いて、観測可能性が比 $r = (\gamma+1)/s$ に依存することを証明する：$r < 1$ のとき任意の短時間で成立し、$r > 1$ のときは長時間にのみ成立し、$r = 1$ のときはすべての時間で失敗する。
• 同じリゾルベントフレームワークを用いて、熱型方程式 $\partial_t u + (-\Delta_\gamma)^s u = 0$ の観測可能性を確立する。
• リゾルベント推定を減衰波動方程式 $\partial_t^2 u + \partial_t u + (-\Delta_\gamma)^s u = 0$ に適用し、エネルギーの多項式的減衰率を導出する。
• Lax-Milgram の定理およびコンパクト性の議論を用いてリゾルベント推定を証明し、$\Delta_\gamma$ の一意的拡張性に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Schrödinger 型方程式 $(-\Delta_\gamma)^s$ によって駆動されるとき、観測可能性は比 $r = (\gamma+1)/s$ にどのように依存するか？
• RQ2 Baouendi-Grushin 演算子 $\Delta_\gamma$（$\gamma \geq 1$）に対して鋭いリゾルベント推定を確立できるか？その最適レートは何か？
• RQ3 比 $r = 1$ のとき、観測可能性がすべての時間で失敗するか？その理由は何か？
• RQ4 減衰波動方程式のエネルギーに対して導出可能な減衰率は何か？
• RQ5 観測集合 $\omega$ が水平ストリップを含むが直線 $\{x=0\}$ を含まないという幾何的性質が、観測可能性にどのように影響するか？

主な発見

• 鋭いリゾルベント推定が確立された：$\|v\|_{L^2} \leq C\left(\|v\|_{L^2(\omega)} + h^{-(\gamma+1)}\| (h^2\Delta_\gamma + 1)v \|_{L^2} \right)$（$\gamma \geq 1$）。これは最適であり、準モードの列が境界に達する。
• Schrödinger 方程式 $i\partial_t u - (-\Delta_\gamma)^s u = 0$ に対して、$r = (\gamma+1)/s < 1$ のとき任意の短時間で観測可能性が成立し、$r > 1$ のときは長時間にのみ成立し、$r = 1$ のときはすべての時間で失敗する。
• リゾルベント推定は、熱型方程式 $\partial_t u + (-\Delta_\gamma)^s u = 0$ の観測可能性を示唆し、同じフレームワークから減衰率が導出される。
• 減衰波動方程式 $\partial_t^2 u + \partial_t u + (-\Delta_\gamma)^s u = 0$ は多項式的エネルギー減衰を示し、そのレートは $\gamma$ と $s$ に依存する。
• リゾルベント推定は鋭い：準モードの列が境界を飽和させ、$r = 1$ の短時間における非観測可能性と矛盾するより良い推定は不可能である。
• $\Delta_\gamma$ の一意的拡張性を用いて、すべての $\lambda \in \mathbb{R}$ に対して $i\lambda - \mathcal{A}$ が単射であることを証明し、スペクトル包含 $i\mathbb{R} \subset \rho(\mathcal{A})$ を保証する。