[論文レビュー] Observability properties of the homogeneous wave equation on a closed manifold

Emmanuel Humbert, Yannick Privat+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2016

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 30被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、閉じたリーマン多様体上の波動方程式の観測可能性定数の長時間漸近的挙動を確立し、$ C_T(\omega)/T $ がラプラシアンの固有関数に関係するスペクトル的量と、測定集合 $\omega$ に滞在する測地線の平均時間という幾何的量の最小値に収束することを示している。解析は低・高周波数分解とスペクトル論を用い、幾何的およびスペクトル的条件の下で観測可能性を特徴づけ、鋭い推定を導出する。

ABSTRACT

We consider the wave equation on a closed Riemannian manifold. We observe the restriction of the solutions to a measurable subset $\\omega$ along a time interval $[0, T]$ with $T>0$. It is well known that, if $\\omega$ is open and if the pair $(\\omega,T)$ satisfies the Geometric Control Condition then an observability inequality is satisfied, comparing the total energy of solutions to their energy localized in $\\omega \ imes (0, T)$. The observability constant $C\\_T({\\omega})$ is then defined as the infimum over the set of all nontrivial solutions of the wave equation of the ratio of localized energy of solutions over their total energy. In this paper, we provide estimates of the observability constant based on a low/high frequency splitting procedure allowing us to derive general geometric conditions guaranteeing that the wave equation is observable on a measurable subset $\\omega$. We also establish that, as $T\ ightarrow+\\infty$, the ratio $C\\_T({\\omega})/T$ converges to the minimum of two quantities: the first one is of a spectral nature and involves the Laplacian eigenfunctions, the second one is of a geometric nature and involves the average time spent in $\\omega$ by Riemannian geodesics.

研究の動機と目的

• 閉じたリーマン多様体上の波動方程式の観測可能性定数 $ C_T(\omega) $ の大時間挙動を特徴づけること。
• 解空間の低・高周波数分解に基づく観測可能性の必要十分条件を確立すること。
• 特に $ T \to \infty $ の極限において正の観測可能性定数を保証する幾何的およびスペクトル的条件を導出すること。
• 開集合に限らない一般の可測測定集合 $\omega$ に対して、古典的な幾何的制御条件を一般化すること。
• スペクトル論およびエルゴディック理論的技法を用いて、古典的な観測可能性結果の新たな証明を提供すること。

提案手法

• 波動方程式の解に対して低・高周波数分解を導入し、低周波数部と高周波数部に分けて解析を実施する。
• 高周波数観測可能性定数 $ \alpha^T(\omega) $ を定義し、$ T \to \infty $ のときの $ C_T(\omega) $ の漸近的挙動を捉える。
• ラプラス＝ベルトラミ作用素のスペクトル分解と、固有値 $ \lambda_j^2 $ に付随する固有関数 $ \phi_j $ を用いてエネルギー分布を解析する。
• 弱収束および強収束の性質を調べるため、エルゴディック型平均作用素 $ \bar{A}_T(a) $ および $ \bar{B}_T(a) $ を導入する。
• 一様なスペクトルギャップ仮定の下でモンゴメリー＝ヴォーランの不等式を適用し、作用素ノルムにおける平均作用素の一様収束を証明する。
• コンパクト性の議論と $ L^2(\Omega) $ における弱収束に依拠し、低周波数部を扱い、高周波数領域における剰余項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ T \to \infty $ のとき、観測可能性定数 $ C_T(\omega) $ の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ2 測定集合 $ \omega \subset \Omega $ が可測である場合に、波動方程式が幾何的およびスペクトル的条件下で観測可能であるための条件は何か？
• RQ3 解空間の低・高周波数分解を用いて、観測可能性をどのように特徴づけられるか？
• RQ4 ラプラシアンのスペクトル構造と測地線の幾何的性質の間の明確な関係は何か、それが観測可能性に与える影響は？
• RQ5 古典的な幾何的制御条件を、一般の可測測定集合 $ \omega $ に対して拡張または再解釈することは可能か？

主な発見

• $ T \to \infty $ のとき、比 $ C_T(\omega)/T $ は有限の極限に収束し、その値はラプラシアンの固有関数に関係するスペクトル的量と、測地線が $ \omega $ に滞在する平均時間という幾何的量の最小値に等しい。
• $ C_T(\omega)/T $ の極限が正であるための必要十分条件は、スペクトル的項と幾何的項の両方が正であることである。
• 高周波数観測可能性定数 $ \alpha^T(\omega) $ は $ C_T(\omega) $ の漸近的挙動を特徴づけ、 $ C_T(\omega) > 0 $ が成り立つための必要十分条件は $ \alpha^T(\omega) > 0 $ であることである。
• 一様なスペクトルギャップ仮定の下では、平均作用素 $ \bar{A}_T(a) $ は作用素ノルムにおいて一様にその極限 $ \bar{A}_\infty(a) $ に収束し、強収束の性質を保証する。
• $ \bar{A}_T(a) $ および $ \bar{B}_T(a) $ の収束は $ L^2(\Omega) $ における弱収束を用いて確立され、誤差項は高周波数減衰およびスペクトル分離によって制御される。
• 本稿は、幾何的制御条件の下で古典的な観測可能性結果の新たな証明を提供し、それらをスペクトル的および幾何的不変量と結びつける。