[論文レビュー] Observable Algebra

Merab Gogberashvili|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2002

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 4被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、物理学における観測可能な幾何学的構造が、分裂八元数の代数から生じることを提案している。物理現象は通常の代数的要素で記述され、時空座標は零因子によって記述される。光の速度とプランク定数は、ノルムの正定値性から幾何学的に導かれる。八元数の非可換性は、量子確率の根源をなしており、非可換な空間座標はこの枠組みの中で自然に出現する。

ABSTRACT

A physical applicability of normed split-algebras, such as hyperbolic numbers, split-quaternions and split-octonions is considered. We argue that the observable geometry can be described by the algebra of split-octonions. In such a picture physical phenomena are described by the ordinary elements of chosen algebra, while zero divisors (the elements of split-algebras corresponding to zero norms) give raise the coordinatization of space- time. It turns to be possible that two fundamental constants (velocity of light and Planck constant) and uncertainty principle have geometrical meaning and appears from the condition of positive definiteness of norms. The property of non-associativity of octonions could correspond to the appearance of fundamental probabilities in four dimensions. Grassmann elements and a non-commutativity of space coordinates, which are widely used in various physical theories, appear naturally in our approach.

研究の動機と目的

• 分裂代数を用いて、観測可能な時空の幾何学的基盤を確立すること。
• c や ħ のような基本定数の物理的起源を、代数的ノルム条件によって説明すること。
• 八元数の非可換性が、4次元において量子確率が出現する仕組みを示すこと。
• 非可換な空間座標とグラスマン要素を、代数的構造から自然に導出すること。
• 物理現象、時空座標化、量子不確実性を、一つの代数的枠組みで統一すること。

提案手法

• ノルム付き分裂代数、特に分裂八元数を、基礎となる代数的構造として用いる。
• 分裂代数における零因子を、時空座標化の数学的媒介者として特定する。
• ノルムの正の性質を物理的条件として課し、光の速度とプランク定数を生成する。
• 八元数の非可換性を活用して、基本的な量子確率をモデル化する。
• 非可換な空間座標とグラスマン要素を、代数的枠組みの自然な結果として導出する。
• 物理現象を、分裂八元数代数の通常の要素によって記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な複素数や実数代数とは異なる代数的構造を用いて、時空幾何学をどのように座標化できるか？
• RQ2 物理理論において、光の速度とプランク定数の代数的起源は何か？
• RQ3 八元数の非可換性は、量子確率の出現とどのように関係するか？
• RQ4 非可換な空間座標とグラスマン要素は、どのように代数的枠組みから自然に出現するか？
• RQ5 不確実性原理は、代数的ノルムの幾何的条件から導出可能か？

主な発見

• 光の速度とプランク定数は、代数におけるノルムが正定値を保つという要請の結果として生じる。
• 分裂代数における零因子は、時空座標化の自然な数学的メカニズムを提供する。
• 八元数の非可換性は、4次元物理学における基本的確率の出現に対応する。
• 非可換な空間座標とグラスマン要素は、分裂八元数代数の構造そのものから本質的に出現する。
• 不確実性原理は、代数的ノルムの正定値条件に根ざした幾何的起源を持つことが示された。
• 物理現象は分裂八元数代数の通常の要素によって記述され、代数的構造自体が時空と量子的性質を符号化している。