[論文レビュー] Observable Divergence Theorem: Evolution Equations for Inviscid Regularization of Shocks and Turbulence

Kamran Mohseni|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2010

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ユーザーが定義したスケール $\alpha$ における空間平均フラックスを用いて発散定理を再定義する、新しい枠組み「観測可能発散定理」を提案する。この定理により、衝撃波や乱流に対する正則化された、粘性のない発展方程式を導出可能となる。微分方程式を導出する前段階でこの定理を適用することで、非粘性のLerayモデルが得られ、粘性項や数値的拡散を一切用いずに、安定的かつ振動のない衝撃波および乱流のシミュレーションが可能となる。

ABSTRACT

The divergence theorem of Gauss plays a central role in the derivation of the governing differential equations in fluid dynamics, electrodynamics, gravitational fields, and optics. One is often interested in an evolution equation for the large scale quantities without resolving the details of the small scales. As a result, there has been a significant effort in developing time-averaged and spatially-filtered equations for large scale dynamics from the fully resolved governing differential equations. One should realize that by starting from these fully-resolved equations (e.g. the Euler or Navier-Stokes equations) to derive an averaged evolution equation one has already taken the limit of the wave-numbers approaching infinity with no regards to our observational abilities at such a limit. As a result, obtaining the evolution equations for large scale quantities (low wave-numbers) by an averaging or filtering process is done after the fact. This could explain many of the theoretical and computational difficulties with the Euler or Navier-Stokes equations. Here, a rather different approach is proposed. The averaging process in implemented before the derivation of the differential form of the transport equations. A new observable divergence concept is defined based on fluxes calculated from observable quantities at a desired averaging scale, $α$. An observable divergence theorem is then proved and applied in the derivation of the observable and regularized transport equations. We further show that the application of the observable divergence theorem to incompressible flows results in a formal derivation of the inviscid Leray turbulence model first proposed in 1934. It is argued that such a methodology in deriving fluid evolution equations removes many of the theoretical and computational difficulties in multi-scale problems such as turbulence and shocks.

研究の動機と目的

• 古典的なEuler方程式およびNavier-Stokes方程式を用いた高波数不安定性（衝撃波および乱流）のモデリングにおける理論的・計算的課題を解決すること。
• 後処理による平均化やフィルタリングの限界を克服するため、保存則の基本的導出段階に正則化を埋め込むこと。
• 新しい「観測可能な発散」という概念を用いて、第一原理から非粘性Leray乱流モデルを形式的に導出すること。
• 人工的粘性や数値的拡散に依存せずに、マルチスケール流体力学における数値的安定性と物理的一致性を保証する枠組みを構築すること。

提案手法

• 特徴的な長さスケール $\alpha$ を持つ、正規化され、非負で、中心対称的かつ単調減少であるスケール依存の平均化カーネル $g^\alpha$ を定義する。
• 観測可能発散定理を導入し、古典的発散定理における点でのフラックスを、体積が $\alpha$ の制御体積上での場の空間平均値から計算されたフラックスに置き換える。
• 保存則の積分形に観測可能発散定理を適用することで、質量、運動量、エネルギーの観測可能形の保存方程式を導出する。
• 観測可能発散定理を用いて、非圧縮性観測可能Euler方程式を形式的に導出し、$\alpha \to 0$ の極限で非粘性Lerayモデルに還元されることを示す。
• 対流項に平均化された速度および密度場を用いることで、圧縮性流れに対しても観測可能Euler方程式を導出する。
• 数値的シミュレーションを、Fourier空間における擬スペクトル法と、Runge-Kutta-Fehlberg法（RK45）を用いた時間積分により実装し、ベンチマーク問題（衝撃波および乱流）におけるモデルの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分方程式を導出する前段階で発散定理に平均化を組み込むことにより、正則化された流体方程式の形式的導出が可能かどうか。
• RQ2 観測可能発散定理が、粘性正則化なしに一貫性があり安定した発展方程式を衝撃波および乱流に対して得られるかどうか。
• RQ3 得られた観測可能Euler方程式が、エントロピー解や移動衝撃波といった既知の解を再現できるかどうか。
• RQ4 古典的Eulerシミュレーションと比較して、観測可能フレームワークが衝撃波領域で不自然な振動をどの程度低減できるか。
• RQ5 人工的粘性が存在しない状況で、平均化スケール $\alpha$ が衝撃波の厚さと数値的安定性をどのように制御するか。

主な発見

• 観測可能発散定理により、微分の前段階で有限スケール $\alpha$ におけるフラックスの平均化を実施することで、衝撃波および乱流に対する正則化された非粘性発展方程式を導出可能であることが確認された。
• 観測可能非圧縮性Euler方程式は、形式的に1934年にLerayが提唱した非粘性Lerayモデルに還元され、長年にわたり議論されてきたこのモデルの第一原理的導出が達成された。
• 2次元の衝撃波-渦度相互作用の数値的シミュレーションにおいて、粘性項や数値的拡散を一切用いずに、高解像度でも衝撃波領域に不自然な振動が生じないことが確認された。
• 衝撃波の厚さは平均化スケール $\alpha$ によって制御可能であり、$\alpha$ が小さいほど解像度が高需要となるが、物理的構造は保持される。
• 観測可能Euler方程式は、古典的Euler方程式と同一の移動衝撃波解およびエントロピー解を支持しており、$\alpha \to 0$ の極限でエントロピー解に収束することが示された。
• 本手法により、人工的粘性や上流差分法に依存せずに、衝撃-乱流相互作用や等方的乱流といった複雑な流れの安定的かつ高精度なシミュレーションが可能となった。