[論文レビュー] Observables in quantum gravity

Alejandro Pérez, Carlo Rovelli|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2001

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、量子重力におけるゲージ不変かつ微分同相変換不変な観測可能量であるW関数を提案する。これは量子場理論におけるn点関数を一般化したものであり、正則性条件の下でGNS構成を用いて物理的ヒルベルト空間を完全に再構成可能である。W関数は、正則なヒルベルト空間の再構成を可能にし、正則性条件を満たすと、物理的ヒルベルト空間をGNS構成によって完全に再構成できる。W関数は、ループ量子重力（canonical）とスピン泡沫（covariant）の両形式を橋渡しする。

ABSTRACT

We study a family of physical observable quantities in quantum gravity. We denote them W functions, or n-net functions. They represent transition amplitudes between quantum states of the geometry, are analogous to the n-point functions in quantum field theory, but depend on spin networks with n connected components. In particular, they include the three-geometry to three-geometry transition amplitude. The W functions are scalar under four-dimensional diffeomorphism, and fully gauge invariant. They capture the physical content of the quantum gravitational theory. We show that W functions are the natural n-point functions of the field theoretical formulation of the gravitational spin foam models. They can be computed from a perturbation expansion, which can be interpreted as a sum-over-four-geometries. Therefore the W functions bridge between the canonical (loop) and the covariant (spinfoam) formulations of quantum gravity. Following Wightman, the physical Hilbert space of the theory can be reconstructed from the W functions, if a suitable positivity condition is satisfied. We compute explicitly the W functions in a "free" model in which the interaction giving the gravitational vertex is shut off, and we show that, in this simple case, we have positivity, the physical Hilbert space of the theory can be constructed explicitly and the theory admits a well defined interpretation in terms of diffeomorphism invariant transition amplitudes between quantized geometries.

研究の動機と目的

• 非摂動的量子重力において、ゲージ不変かつ微分同相変換不変な物理的観測可能量の完全な集合を特定すること。
• ループ量子重力（canonical）とスピン泡沫（covariant）の両形式を、共通の観測可能量フレームワークを通じて結びつけること。
• W関数（一般化されたn点関数）が正則性条件を満たす場合、GNS構成を用いて物理的ヒルベルト空間を再構成できることを示すこと。
• 群場理論の摂動的展開から得られるW関数が、スピン泡沫モデルにおける4次元幾何の和（sum-over-4-geometries）に対応することを示すこと。
• スピンネットワークでラベル付けされた離散的量子幾何の間の遷移振幅の物理的解釈を明らかにすること。これは、量子場理論における粒子振幅と類似している。

提案手法

• W関数を、抽象的スピンネットワークの代数A上の汎関数W(s)として定義し、固定された幾何の量子数を持つ3次元幾何の固有状態間の遷移振幅を表す。
• W関数が完全にゲージ不変であり、4次元の微分同相変換のもとでスカラーであることを確立し、物理的観測可能性を保証する。
• 正則性条件が成り立つ場合、GNS構成を用いてW関数から物理的ヒルベルト空間を再構成する。
• W関数をスピン泡沫モデルと結びつけるために、これらが群場理論におけるn点関数として現れることを示し、動的性質の摂動的定義を提供する。
• 重力頂点のない自由モデルにおいて、W関数が正則性条件を満たし、物理的ヒルベルト空間を明示的に構成できることを示す。
• Wightman分布と類似させ、量子場理論におけるn点関数からQFTを再構成するという核心的アイデアが、一般相対性理論に適合する量子重力へと拡張されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子重力において、ゲージ不変かつ微分同相変換不変な物理的観測可能量の完全な集合を定義できるか？
• RQ2 ループ量子重力とスピン泡沫の両形式を、共通の観測可能量構造を通じてどのように結びつけることができるか？
• RQ3 どのような条件下で、量子重力の物理的ヒルベルト空間をn点関数から再構成できるか？
• RQ4 スピンネットワークでラベル付けされた離散的量子幾何の間の遷移振幅の物理的解釈は何か？
• RQ5 群場理論におけるW関数は、スピン泡沫振幅および4次元幾何の和（sum-over-4-geometries）とどのように関係するか？

主な発見

• W関数は、スピンネットワークでラベル付けされた幾何の量子状態間の遷移振幅を表す、定義が明確で微分同相変換不変な観測可能量である。
• W関数は、3次元幾何から3次元幾何への振幅を一般化し、量子場理論におけるWightman分布と類似した任意のn点関数を表す。
• 重力頂点のない自由モデルでは、W関数が必要な正則性条件を満たし、GNS構成を用いて物理的ヒルベルト空間を明示的に再構成できる。
• 群場理論の摂動的展開から得られるW関数は、4次元幾何の和に対応し、場理論とスピン泡沫モデルとの直接的なつながりを提供する。
• W関数は、スピン泡沫モデルの場理論的定式化における自然なn点関数として機能し、正則なヒルベルト空間の再構成を可能にし、正則性条件を満たすと、物理的ヒルベルト空間をGNS構成によって完全に再構成できる。
• この枠組みにより、バックグラウンド独立な量子重力のダイナミクスが観測可能な量から再構成可能であり、Wightmanプログラムが一般相対性理論に適合する理論へと拡張されることを示している。