[論文レビュー] Observation of the Hopf Links and Hopf Fibration in a 2D topological Raman Lattice

Chang-Rui Yi, Jinlong Yu+4 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2019

Topological Materials and Phenomena被引用数 14

ひとこと要約

本研究では、2次元トポロジカルラマン格子系において、量子異常ホール系をクエンチすることで、動的ホップ絶縁体を実験的に実現した。準運動量-時間のダイナミクスを、$T^3$ からブロッホ球へのホップ写像にマッピングした。北極と南極に対応するファイバー間のホップリンクを観測し、ホップファイブレーション構造を確認した。リンク数は、クエンチ後のハミルトニアンのチチェル数に直接一致し、量子幾何学とトポロジーの直接的な実験的関係を示した。

ABSTRACT

A dynamical Hopf insulator is experimentally synthesized with a quenched two-dimensional quantum anomalous Hall system on a square Raman lattice. The quench dynamics for the quasimomentum-time-dependent Bloch vectors defines a Hopf map from $(q_x,q_y,t)\in T^3$ to the Bloch sphere $S^2$. In this Hopf map, a dynamical Hopf number can be defined, and it exactly equals the Chern number of the post-quench Hamiltonian. We experimentally measure the Hopf link between the fibers for the North and South Poles on $S^2$, which are the trajectories in $(q_x,q_y,t)$ space with maximal spin polarization, to extract the topological Chern number of the post-quench Hamiltonian. We also observe the structure of Hopf fibration for the mutually nested Hopf tori. Our study sheds some new light on the interplay between topology (Hopf number) and geometry (fiber bundle) in quantum dynamics.

研究の動機と目的

• 2次元トポロジカルラマン格子系を用いて、クエンチダイナミクスにより動的ホップ絶縁体を実験的に実現すること。
• 準運動量-時間空間におけるブロッホ球の北極と南極に対応するファイバー間のホップリンクを観測すること。
• ブロッホ球上の異なる緯度の円上でのファイバーが形成する相互にネストされたホップトーラスを通じて、ホップファイブレーション構造を可視化すること。
• クエンチ後のハミルトニアンのチチェル数に等しい動的ホップ数を、直接実験的に測定すること。
• 量子クエンチダイナミクスにおけるトポロジー（ホップ数）と幾何学（ファイバー束構造）の相乗作用を示すこと。

提案手法

• 2次元ラマン格子系においてクエンチダイナミクスを誘発し、スピン極化の時間発展を、3次元トーラス $T^3$（準運動量 $q_x, q_y$、時間 $t$）からブロッホ球 $S^2$ へのホップ写像にマッピングする。
• ホップ写像は、Blochスピンベクトル $\mathbf{h}_f(\mathbf{q}) \cdot \boldsymbol{\sigma}$ の時間発展により定義され、その歳差軌道が $T^3$ 内のファイバーを描く。
• 北極と南極に対応するファイバー（最大スピン極化 $P_z = \pm 1$ を示す軌道）は、時間飛行測定から抽出される。
• ファイバー $\mathcal{L}_+$ と $\mathcal{L}_-$ 間のリンク数（ホップ不変量）は、$(q_x, q_y, t)$ 空間内での空間的軌道から計算される。
• ホップトーラスは、$P_z(\mathbf{q}, t) = \cos\theta$ を満たす点を特定することで再構築され、時間分解能を有するスピン極化データとラビ振動モデルのフィッティングを用いる。
• タイトバインディングモデルとホップ写像方程式 $P_z(\mathbf{q}, t) = \cos\theta$ を用いた数値シミュレーションにより、実験的軌道およびトポロジカル不変量の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元トポロジカルラマン格子系におけるクエンチダイナミクスから、2+1次元の準運動量-時間空間にホップリンク構造が出現するか？
• RQ2 北極および南極に対応するファイバーのリンク数として定義される動的ホップ数は、実験的に測定可能であり、クエンチ後のハミルトニアンのチチェル数に等しいか？
• RQ3 ラビットトーラスを含む、完全なホップファイブレーション構造が、冷害原子量子シミュレータで観測可能か？
• RQ4 ラマン結合強度やデチューニングなどの系パラメータの変化に伴い、トポロジカル不変量（チチェル数）はどのように変化するか？
• RQ5 $(q_x, q_y, t)$ 空間におけるスピン極化軌道の実験的測定は、どの程度、背後にあるファイバー束幾何学を忠実に再構成できるか？

主な発見

• 北極と南極に対応するファイバー $\mathcal{L}_+$ と $\mathcal{L}_-$ 間のホップリンクが実験的に観測され、リンク数 $I_H = \pm 1$ がチチェル数 $C = \pm 1$ に対応する。
• デチューニング $\delta_f \in (-0.82E_r, 0.82E_r)$ の範囲ではファイバーがリンクし、$I_H = \pm 1$ を示すが、$|\delta_f| > 0.82E_r$ の場合、ファイバーは分離し、$I_H = 0$ かつ $C = 0$ となる。
• ブロッホ球上の異なる緯度の円に対応するホップトーラスが実験的に再構築され、$(q_x, q_y, t)$ 空間へのトポロジカルに非自明な埋め込みがネスト構造を示した。
• ファイバーのリンク数から得られた測定された動的ホップ数は、クエンチ後のハミルトニアンのチチェル数と正確に一致し、理論的予測を確認した。
• タイトバインディングモデルとホップ写像方程式 $P_z(\mathbf{q}, t) = \cos\theta$ を用いた数値シミュレーションは、実験データと良好に一致し、スピン極化軌道からトポロジカル不変量を抽出する手法の妥当性を裏付けた。
• 本研究は、2次元ラマン格子系におけるクエンチダイナミクスが、ホップ数を含む高次元トポロジカル不変量およびファイバー束による幾何的実現を観測可能なプラットフォームを提供することを示した。