[論文レビュー] Observations and Problems on k-abelian avoidability

Mari Huova, Juhani Karhumäki|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2011

semigroups and automata theory参考文献 4被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、アーベル的および古典的な語の反復問題の一般化であるk-アーベル回避可能性を調査し、特に2-アーベルの平方と立方に焦点を当てる。計算的列挙と構造的解析を用いて、無限の三文字2-アーベル平方自由語は存在しない（最大長さ537）ことが示され、一方で強い証拠により、二文字2-アーベル立方自由語が任意に長い、あるいは無限に存在する可能性があることが示された。

ABSTRACT

We introduce new avoidability problems for words by considering equivalence relations, k-abelian equivalences, which lie properly in between equality and commutative equality, i.e. abelian equality. For two k-abelian equivalent words the numbers of occurrences of different factors of length k coincide and the prefixies (resp. suffixies) of length k-1 are equal as well. The size of the smallest alphabet avoiding 2-repetitions of words, i.e. squares, is three and for abelian squares it is four. It follows that for 2-abelian squares this size has to be three or four. Similarly, the size of the smallest alphabet where 2-abelian cubes, i.e. 3-repetitions, can be avoided is two or three, because cubes (resp. abelian cubes) are avoidable in binary (resp. ternary) alphabet. We show that for 2-abelian squares the required size is four, as in the case of abelian squares. The longest 2-abelian square-free ternary word is of length 537. The question for 2-abelian cubes is open. Though, we have computational evidence that the size would be two, since there exists 2-abelian cube-free binary word of length 100 000, meaning that the 2-abelian case would behave like that of words.

研究の動機と目的

• k-アーベル反復の回避可能性、すなわちアーベル的および古典的反復の一般化を、無限語において探求すること。
• 2-アーベルの平方と立方を回避する無限語を構成するのに必要な最小のアルファベットサイズを特定すること。
• 古典的なトゥエ型問題で成功した自己写像に基づく構成法が、k-アーベル設定に拡張可能かどうかを調査すること。
• 計算的列挙と木構造ベースの探索を用いて、2-アーベル平方自由語および立方自由語の成長と構造を分析すること。

提案手法

• k-アーベル同値性を、長さk−1の接頭辞/接尾辞が一致し、すべてのk長さの部分語の出現回数が等しいことで定義する。
• 計算的列挙を用いて、三文字アルファベット上での最長2-アーベル平方自由語を探索する。
• 長さ537までにすべての2-アーベル平方自由語を列挙する完全な木構造を構築し、その分布と成長を分析する。
• 同様の計算的手法を用いて、長さ120までの一連の二文字2-アーベル立方自由語の数を数え、分析する。
• 二文字2-アーベル立方自由語の長い接頭辞を固定し、有効な延長の数を追跡することで成長率を評価する。
• 経験的成長パターン（長さ増加ごとに約1.3倍）を用いて、無限の2-アーベル立方自由語の存在可能性を推測する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三文字アルファベット上での2-アーベル平方自由語の最大長さは何か？
• RQ2 二文字アルファベット上に無限の2-アーベル立方自由語は存在するか？
• RQ3 古典的なトゥエ問題で効果的であった自己写像に基づく構成法は、2-アーベル立方自由語を生成できるか？
• RQ4 それぞれのアルファベットにおいて、2-アーベル平方自由語および立方自由語の数は、語長とともにどのように成長するか？
• RQ5 成長と分布の観点から、2-アーベル平方自由語および立方自由語の集合を特徴づける構造的性質は何か？

主な発見

• 三文字アルファベット上での最長2-アーベル平方自由語の長さは537であり、これはアルファベットの置換を除いて一意である。
• 長さ105の2-アーベル平方自由語の数は404,286に達し、1から537の範囲で最大値を示す。
• 105を越える長さでは、2-アーベル平方自由語の数が周期的挙動を示し、構造的制約があることが示唆される。
• 二文字アルファベット上では、100,000文字を超える2-アーベル立方自由語を構成可能であり、無限の存在が可能性として示唆される。
• 長さ60の二文字2-アーベル立方自由語の数は478,456,030であり、長さ増加ごとに約1.3倍の割合で成長している。
• 長さ2000の固定接頭辞に対して、2-アーベル立方自由語の有効な延長の数は、長さステップごとに約1.3倍に増加し、無限の回避可能性の仮説を支持する。