[論文レビュー] Obstructions to deforming curves on a 3-fold, I: A generalization of Mumford's example and an application to Hom schemes

Shigeru Mukai, Hirokazu Nasu|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、中間的表面に関する正規束の外部成分を用いて、3次元多様体上の曲線の1次無限小変形が障害を受ける十分条件を確立する。この条件を用いて、有理被覆3次元多様体のヒルベルト多様体に一般に非退化な成分を構成し、一般の5種数の曲線から一般の立方3次元多様体へのホモトピー多様体において、一般に非退化な既約成分の存在を証明する。

ABSTRACT

We give a sufficient condition for a first order infinitesimal deformation of a curve on a 3-fold to be obstructed. As application we construct generically non-reduced components of the Hilbert schemes of uniruled 3-folds and the Hom scheme from a general curve of genus five to a general cubic 3-fold.

研究の動機と目的

• 3次元多様体上の曲線の1次無限小変形が障害を受ける十分条件を提供すること。
• ムムフォードの非退化ヒルベルト多様体の例を、より広いクラスの有理被覆3次元多様体へ一般化すること。
• 障害基準を応用して、一般の5種数の曲線から一般の立方3次元多様体への次数8の写像のホモトピー多様体に一般に非退化な成分を構成すること。
• 一般のモジュライ条件のもとで非退化成分を示すことにより、ホモトピー多様体の滑らかさに関する問題を解決すること。
• 半連続性およびアンプロジェクション技術を用いて、一般およびフェルマー型の立方3次元多様体の両方のケースに分析を拡張すること。

提案手法

• 曲線 $ E $ に沿って単純極をもつ $ N_{S/V} $ の有理切断 $ v $ を導入し、$ H^0(N_{S/V}(E)) \setminus H^0(N_{S/V}) $ に属する切断を得る。
• 曲線 $ C \subset V $ の変形 $ \tilde{C} $ に対して、外部成分 $ \pi_S(\alpha) \in H^0(N_{S/V}|_C) $ を定義し、これを障害の検出に用いる。
• 正確な系列 $ 0 \to N_{E/S} \to N_{E/V} \to N_{S/V}|_E \to 0 $ を $ \mathcal{O}_S(E) $ でテンソル化し、コブダリー写像 $ \partial $ を用いて障害条件を分析する。
• $(E^2) < 0$ かつ定理1.6の条件(a)および(b)が満たされる場合、$ \operatorname{ob}(\alpha) \neq 0 $ であることが示され、障害が生じることを意味する。
• この基準を用いて、$ p_g(S) = h^1(N_{S/V}) = 0 $ かつ $ N_{E/V} $ が全体的に生成されているという条件を満たす有理被覆3次元多様体 $ V $ に対して、$ \operatorname{Hilb}^{sc}V $ に無限個の一般に非退化な既約成分 $ W_n $ を構成する。
• アンプロジェクションと5種数の曲線の標準モデルを用いてヒルベルト多様体とホモトピー多様体を関連させ、一般の $[X] \in \mathfrak{M}_5$ におけるファイバーが一般に非退化であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元多様体上の曲線の1次変形がどのような条件下で障害を受けるか。
• RQ2 ムムフォードの非退化ヒルベルト多様体の例は、他の有理被覆3次元多様体へ一般化可能か。
• RQ3 一般の5種数の曲線 $ X $ と一般の立方3次元多様体 $ V_3 \subset \mathbb{P}^4 $ に対して、ホモトピー多様体 $ \operatorname{Hom}_8(X, V_3) $ に一般に非退化な成分が存在するか。
• RQ4 立方3次元多様体の超平面切断からモジュライ空間 $ \mathfrak{M}_5 $ への分類写像は全射か。
• RQ5 半連続性を用いて、フェルマー型のケースからすべての滑らかな立方3次元多様体へのホモトピー多様体の非退化性を拡張可能か。

主な発見

• 曲線 $ C \subset V $ の1次変形 $ \tilde{C} $ が障害を受ける十分条件は、$ C, E \subset S \subset V $、$ E $ が $(-1)$-曲線、および $ v \in H^0(N_{S/V}(E)) \setminus H^0(N_{S/V}) $ に関する特定のコhomオロジー的条件が満たされる場合、外部成分 $ \pi_S(\alpha) $ を用いて記述される。
• 任意の有理被覆3次元多様体 $ V $ に対して、滑らかな曲面 $ S \subset V $、$ S $ 内の $(-1)$-曲線 $ E \subset S $、$ N_{E/V} $ が全体的に生成、$ p_g(S) = h^1(N_{S/V}) = 0 $ を満たすとき、ヒルベルト多様体 $ \operatorname{Hilb}^{sc}V $ は無限個の一般に非退化な既約成分 $ W_n $ を含む。
• 一般の5種数の曲線 $ X $ と一般の立方3次元多様体 $ V_3 \subset \mathbb{P}^4 $ に対して、ホモトピー多様体 $ \operatorname{Hom}_8(X, V_3) $ は、期待される次元4の既約成分を持ち、それは一般に非退化である。
• フェルマー型の場合 $ V_3^{\rm Fermat} $ において、分類写像 $ \varphi^{\rm Fermat}: \tilde{W}^{\rm Fermat} \to \mathfrak{M}_5 $ は全射であり、ファイバー $ T^{\rm Fermat} $ は次元4の一般に非退化である。
• ファイバー次元の上半連続性により、一般の $ V_3 $ における非退化性の結果はフェルマー型の結果から導かれる。
• ホモトピー多様体における非退化成分の存在は、問題1.4を否定的に解決する：一般の $ X $ と $ V' $ に対して、$ \operatorname{Hom}(X, V') $ のすべての成分が一般に滑らかであるとは限らない。