[論文レビュー] Obstructions to deforming maps from curves to surfaces

Takeo Nishinou|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、曲線から曲面への写像に対する古典的な半正則性の概念を拡張し、特異曲線（特にノード型および非還元的曲線）の変形を制御可能にするため、局所的で写像に基づく半正則性条件を導入する。主な結果として、ある滑らかでない曲線から曲面への写像がこの拡張された意味で半正則であれば、その変形は妨げられず、一般型の曲面上に多数のノードを持つ曲線を幾何的に制御可能な方法で構成することが可能になる。

ABSTRACT

This paper studies the obstructions to deforming a map from a complex variety to another variety which is an immersion of codimension one. We extend the classical notion of semiregularity of subvarieties to maps between varieties, and show that it largely extends the applicability. Then we apply the main result to several situations. First, we give deformations of non-reduced curves on surfaces in a geometrically controlled way. Also, we give a simple but effective criterion for the vanishing of the obstructions to equisingular deformations of nodal curves on surfaces. Finally, we construct nodal curves with very small geometric genus on surfaces of general type.

研究の動機と目的

• 部分多様体から曲線から曲面への写像への古典的半正則性条件の拡張。
• 曲面上の特異曲線の変形が妨げられることを保証する局所的で写像に基づく基準の提供。
• 古典的変形理論が失敗する一般型曲面上に、非常に多くのノードを持つノード型曲線を構成すること。
• 写像の定義域を制限することにより、変形された曲線の幾何的性質を制御し、等Singularityおよび非還元的曲線の変形を可能にする。

提案手法

• V を滑らかな多様体（dim X > 2）または滑らかでない曲線（dim X = 2）とし、X を滑らかな曲面とする写像 φ: V → X に対する新しい半正則性の概念を導入する。
• Nφ(−P) とノードにおけるスカイクラッパー・シェーブの完全系列を用いて、正規層 Nφ のコホロロジーにおける障害の消失によって φ の半正則性を定義する。
• セール双対性と Leray 譜系列を用いて、Nφ のコホロロジーと定義域曲線上の正則バンドルの全体切断との関係を確立する。
• 写像の像がノード型曲線である場合の半正則性の基準を確立する：φ が半正則であることは、各ノード pi に対して、pi のみを滑らかにするが他のノードには影響しない第一階の変形が存在することと同値である。
• 可約曲線に適用するため、半正則な成分を接合し、制限および押し出しに関する正規層の整合性を用いる。
• 正規層の切断を段階的に加えることでノードを一つずつ滑らかにする変形を構成し、定理24により代数的変形が拡張可能であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的半正則性条件は、部分多様体から曲線から曲面への写像へと一般化可能か？ これにより特異曲線の変形性質を制御可能になるか？
• RQ2 滑らかでない曲線から曲面への写像が、その変形空間において妨げられず、どのような局所的基準を満たせばよいか？
• RQ3 写像に基づく半正則性条件を用いて、一般型曲面上に非常に多くのノードを持つノード型曲線を構成可能か？
• RQ4 拡張された半正則性枠組みを用いて、非還元的曲線を幾何的に制御可能に変形可能か？
• RQ5 ノード型曲線の変形が等Singularityを保つ、またはノード数を制御するための条件は何か？

主な発見

• 写像 φ: V → X が拡張された意味で半正則であれば、すべての第一階変形が高階の変形に拡張可能であり、φ は変形が妨げられない。
• 曲面 X の正則バンドルが自明である場合、滑らかでない曲線への任意の埋め込みは半正則であり、非還元的曲線の変形が妨げられない。
• ノード型曲線の場合、φ が半正則であることと、各ノード pi に対して、pi のみを滑らかにするが他のノードには影響しない第一階変形が存在することは同値である。
• 線形系を用いた基準により、φ が半正則であることは、各ノード pi に対して、pi を避けるが他のすべてのノードを通る、φ(C) と代数的に同値な有効的除集合が存在することと同値である。
• 変形された曲線 C(n) の幾何的 genus は、ng(C1) + (n−1)KX·L で上から抑えられ、十分に豊富な L に対して、Aδ(C) > g(C)² となるようにノード数を調整可能である。
• 曲面 X は、半正則性条件を満たすノード型曲線の族を備えており、一般型曲面上に非常に多くのノードを持つ曲線の存在を示している。