[論文レビュー] Obstructions to Lagrangian Cobordisms between Legendrian Submanifolds

Joshua M. Sabloff, Lisa Traynor|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 34被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、1-jet bundleのシンプレクティック化におけるLegendrian部分多様体間の埋め込みLagrangianコボルディズムに対する生成族障害を、包絡ホモロジーと写像コーン構成から構築されたTQFT風の枠組みを用いて導入する。Chekanov-Eliashberg $m(5_2)$ ノードに対して、生成族適合コボルディズムの非存在性を証明し、生成族コホモロジーとnullコボルディズム上でのPoincaré双対性を結びつける双対構造を確立する。これにより、無限遠で線形な生成族をもつLegendrianに対して、Arnold予想が成立することが示される。

ABSTRACT

The technique of generating families produces obstructions to the existence of embedded Lagrangian cobordisms between Legendrian submanifolds in the symplectizations of 1-jet bundles. In fact, generating families may be used to construct a TQFT-like theory that, in addition to giving the aforementioned obstructions, yield structural information about invariants of Legendrian submanifolds. For example, the obstructions devised in this paper show that there is no generating family compatible Lagrangian cobordism between the Chekanov-Eliashberg Legendrian $m(5_2)$ knots. Further, the generating family cohomology groups of a Legendrian submanifold restrict the topology of a null-cobordism. Structurally, the generating family cohomology of a Legendrian submanifold satisfies a type of Alexander duality that, when the Legendrian is null-cobordant, can be seen as Poincar\'e duality of the associated Lagrangian null-cobordism. This duality implies the Arnold Conjecture for Legendrian submanifolds with linear-at-infinity generating families. The results are obtained by developing a generating family version of wrapped Floer cohomology and establishing long exact sequences that arise from viewing the the spaces underlying these cohomology groups as mapping cones.

研究の動機と目的

• Legendrian部分多様体間の埋め込みLagrangianコボルディズムの存在に対する障害を、生成族を用いて開発すること。
• 生成族から得られるTQFT風理論を構築し、Legendrian部分多様体の構造的不変量を導出すること。
• 生成族コホモロジー群を用いたnullコボルディズムの位相的制約を理解すること。
• 生成族コホモロジーとLagrangian nullコボルディズムの位相の間の双対構造（アレクサンダー双対性やPoincaré双対性に類似）を確立すること。
• 無限遠で線形な生成族をもつLegendrian部分多様体に対して、Arnold予想を証明すること。

提案手法

• 本稿は、Legendrian部分多様体の不変量を解析するために、包絡ホモロジーの生成族版を構築する。
• 生成族コホモロジー群の基礎となる空間を写像コーンとしてモデル化し、長完全系列を導出する。
• 理論を用いて、コホモロジカル双対関係を通じてLagrangian nullコボルディズムの位相を研究する。
• 著者らはTQFT風構造を用いて、特に特定のLegendrianノードに対してコボルディズム存在の障害を導出する。
• 双対性が、Legendrianがnullコボルディズムである場合、Poincaré双対性に還元されることを示し、コホモロジー構造と多様体位相を結びつける。
• この手法は、写像コーン構成の代数的性質と、シンプレクティックコボルディズムにおける生成族の振る舞いに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成族を用いて、1-jet bundle内のLegendrian部分多様体間の埋め込みLagrangianコボルディズムの存在を障害できるか？
• RQ2 生成族コホモロジー群から得られるLegendrian部分多様体の構造的不変量は何か？
• RQ3 Legendrianの生成族コホモロジーは、そのLagrangian nullコボルディズムの位相とどのように関係するか？
• RQ4 nullコボルディズムであるLegendrianに対して、生成族コホモロジーの文脈で、アレクサンダー双対性やPoincaré双対性のような双対構造が現れるか？
• RQ5 生成族コホモロジーの双対構造は、無限遠で線形な生成族をもつLegendrian部分多様体に対して、Arnold予想を含意するか？

主な発見

• Chekanov-Eliashberg Legendrian $m(5_2)$ ノード間には、生成族適合Lagrangianコボルディズムが存在しない。
• Legendrian部分多様体の生成族コホモロジー群は、それが境界づける可能性のある任意のnullコボルディズムの位相的構造を制約する。
• Legendrianがnullコボルディズムであるとき、その生成族コホモロジーは、関連するLagrangianコボルディズム上でPoincaré双対性に対応する双対性を満たす。
• 生成族コホモロジーにおける双対構造は、アレクサンダー双対性の一種であり、nullコボルディズムの場合にPoincaré双対性に還元される。
• 双対性とコホモロジー構造は、無限遠で線形な生成族をもつLegendrian部分多様体に対して、Arnold予想を含意する。
• 包絡ホモロジーと写像コーンを用いたTQFT風理論の構築は、障害と構造的結果を導出する強固な枠組みを提供する。