[論文レビュー] Occupation Statistics of Critical Branching Random Walks

Steven P. Lalley, Xinghua Zheng|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2007

Forest Biomass Utilization and Management被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、生存が第n世代まで継続することを条件としたd次元整数格子上の臨界近接隣接分岐ランダムウォークにおける職業統計を分析している。極限定理により、次元3以上では、有限のα次のモーメントを持つ場合、1つのサイトに存在する粒子数の最大値がOp(n^{1/α})に成長することが示され、軽い尾部を持つ子孫分布の場合にはOp(log n)に成長する。一方、サイトの重複度およびサイト占有統計は、それぞれ指数的および対数的スケーリング極限に収束する。

ABSTRACT

Consider a critical nearest neighbor branching random walk on the d-dimensional integer lattice initiated by a single particle at the origin. Let Gn be the event that the branching random walk survives to generation n. We obtain limit theorems conditional on the event Gn for a variety of occupation statistics: (1) Let Vn be the maximal number of particles at a single site at time n. If the offspring distribution has finite αth moment for some integer α ≥ 2, then in dimensions 3 and higher, Vn = Op(n 1/α); and if the offspring distribution has an exponentially decaying tail, then Vn = Op(log n) in dimensions 3 and higher, and Vn = Op((log n) 2) in dimension 2. Furthermore, if the offspring distribution is non-degenerate then P(Vn ≥ δ log n|Gn) → 1 for some δ> 0. (2) Let Mn(j) be the number of multiplicity- j sites in the nth generation, that is, sites occupied by exactly j particles. In dimensions 3 and higher, the random variables Mn(j)/n converge jointly to multiples of an exponential random variable. (3) In dimension 2, the number of particles at a “typical ” site (that is, at the location of a randomly chosen particle of the nth generation) is of order Op(log n), and the number of occupied sites is Op(n/log n).

研究の動機と目的

• Z^d上の臨界分岐ランダムウォークにおける個々のサイトにおける粒子数の分布を理解すること。
• 生存が第n世代まで継続することを条件とした場合に、任意の1つのサイトにおける粒子数の最大値が時間経過とともにどのように変化するかを分析すること。
• 複数の世代にわたって正確にj個の粒子を持つサイト（重複度jのサイト）の同時分布を特定すること。
• 生存が第n世代まで継続することを条件とした場合に、次元2における1サイトあたりの典型的な粒子数および占有サイト数を特定すること。

提案手法

• 分岐過程が第n世代まで生存するという事象Gnの条件付き分布を用いて、まれだが関連のある標本経路を研究する。
• モーメント法および大偏差ヒューリスティクスを用いて、任意のサイトにおける粒子数最大値Vnの分析を行う。
• 分岐過程理論および母関数を用いて、正確にj個の粒子を持つサイト数Mn(j)の漸近的分布を導出する。
• カップリングおよび確率的比較技術を用いて、異なる子孫分布の尾部挙動におけるVnの上限を求める。
• 第n世代の粒子からサイズバイアスサンプリングを用いて、典型的なサイト占有状態を分析する。
• 次元d ≥ 3において、Mn(j)/nのスケーリング極限を導出し、指数的確率変数の定数倍への収束を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元d ≥ 3におけるZ^d上の臨界分岐ランダムウォークにおいて、1つのサイトにおける粒子数の最大値はnにどのように依存するか？
• RQ2 次元d ≥ 3において、生存が第n世代まで継続することを条件とした場合に、正確にj個の粒子を持つサイトの分布（Mn(j)）の漸近的分布は何か？
• RQ3 次元2において、生存が第n世代まで継続することを条件とした場合に、1サイトあたりの典型的な粒子数はどのように振る舞うか？
• RQ4 次元2において、生存が第n世代まで継続することを条件とした場合に、占有サイト数の漸近的オーダーは何か？
• RQ5 粒子数およびサイト占有のスケーリング法則は、子孫分布の尾部挙動にどのように依存するか？

主な発見

• 次元3以上では、子孫分布のα次のモーメントが有限（α ≥ 2）であれば、生存が第n世代まで継続することを条件とした場合、Vn = Op(n^{1/α})である。
• 子孫分布の尾部が指数的に減少する場合、次元3以上ではVn = Op(log n)であり、次元2ではVn = Op((log n)^2)である。
• 非退化した子孫分布に対しては、あるδ > 0が存在し、P(Vn ≥ δ log n | Gn) → 1となる。これは、条件付きで対数的成長がほとんど確実であることを示している。
• 次元3以上では、正規化されたカウントMn(j)/nが同時に指数的確率変数の定数倍に収束し、サイト重複度の同時極限定理が確立される。
• 次元2では、第n世代から一様に選ばれた典型的なサイトにおける粒子数はOp(log n)であり、より高いサイト集中度を示している。
• 次元2では、占有サイト数はOp(n / log n)であり、高次元に比べて空間的分散が疎であることが示されている。