[論文レビュー] Occupation times of refracted Lévy processes

Andreas E. Kyprianou, Juan Carlos Pardo+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2012

Probability and Risk Models参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、しきい値レベル b 以上にあるとき線形のドリフトを差し引いた、スペクトル的に負の Lévy プロセス（特徴的な負のジャンプのみを有する）の占有可能時間に関する明示的な恒等式を導出する。スケール関数とフラクチュエーション理論を用いて、吸収または区間からの退出までの間、b より下にいた時間のラプラス変換を確立し、保険リスク分野におけるパリジアン破産や配当支払いモデルに関連する結果を拡張する。

ABSTRACT

A refracted Lévy process is a Lévy process whose dynamics change by subtracting off a fixed linear drift (of suitable size) whenever the aggregate process is above a pre-specified level. More precisely, whenever it exists, a refracted Lévy process is described by the unique strong solution to the stochastic differential equation \[ \ud U_t=-δ\mathbf{1}_{\{U_t&gt;b\}}\ud t +\ud X_t, \] where $X=(X_t, t\ge 0)$ is a Lévy process with law $\p$ and $b,δ\in \R$ such that the resulting process $U$ may visit the half line $(b,\infty)$ with positive probability. In this paper, we consider the case that $X$ is spectrally negative and establish a number of identities for the following functionals \[ \int_0^\infty\mathbf{1}_{\{U_t<b> a\}$ and $ρ^-_c=\inf\{t\ge 0: U_t&lt; c\}$ for $c<b></b></b>

研究の動機と目的

• 屈折型 Lévy プロセスの占有可能時間、特にしきい値レベル b より下にいた時間の正確な分布的恒等式を導出すること。
• 最近のパリジアン破産および配当支払いモデルに関する結果を拡張するため、a より上に最初に通過するまでの時間と c より下に最初に通過するまでの時間（c < b < a）の占有可能時間を分析すること。
• スペクトル的に負の Lévy プロセスに対するスケール関数とウィーナー＝ホプフ因数分解を用いて、占有可能時間関数のラプラス変換を確立すること。
• 特にプロセスが無限大にドリフトする条件下で、長期間にわたり b より下にいた総時間の分布を特徴づけること。
• 保険リスクおよびファイナンシャル・エンジニアリングへの応用を含む、屈折型 Lévy プロセスにおける占有可能時間の包括的な解析的枠組みを提供すること。

提案手法

• SDE dUt = dXt − δ1{Ut > b}dt の解として屈折型 Lévy プロセス U をモデル化する。ここで X はスペクトル的に負の Lévy プロセスである。
• X に関連するスケール関数 W^{(θ)} および Z^{(θ)} を用いて、占有可能時間関数のラプラス変換を導出する。
• ウィーナー＝ホプフ因数分解および指数的チルト変換技術を用いて、最初の通過時刻 ρ⁺_a および ρ⁻_c を分析する。
• 指数的関数的恒等式の使用により、占有可能時間と最初の通過時刻の同時ラプラス変換を導出する。
• a → −∞ および c → ∞ の極限を取ることで、無限時間枠における占有可能時間分布を回復する。
• 上昇ラダー高さ測度の畳み込みを含む級数として、b より下の占有可能時間の密度を表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 屈折型プロセスが区間 (c,a) から最初に退出するまでの、水準 b より下にいた時間のラプラス変換は何か？
• RQ2 プロセスが吸収されるか、無限時間にわたって吸収される場合、b より下にいた総時間の分布はどのように振る舞うか？
• RQ3 特にプロセスが無限大にドリフトする場合、b より下にいた占有可能時間の密度の明示的表現は何か？
• RQ4 本研究の結果は、保険リスク分野におけるパリジアン破産および配当支払いモデルに関する先行研究をどのように拡張するか？
• RQ5 境界 a および c が ±∞ に近づく際の占有可能時間分布の極限的挙動は何か？

主な発見

• ℙ_b における ∫₀^∞ 1{Ut < b} dt のラプラス変換は、(ψ′(0+)-δ)Φ(θ)/θ × 1/(1 − δΦ(θ)/θ) で与えられ、ここで Φ は上昇ラダー高さ過程のラプラス指数である。
• b より下にいた総占有可能時間の分布は、化合物幾何分布混合型である：(ψ′(0+)/δ − 1) × ∑_{n≥1} δ^n μ^{*n}(dx)、ここで μ はラダー高さ過程に関連する測度である。
• b より下にいた占有可能時間の密度は、0 に質量をもち、その大きさは (ψ′(0+)/δ − 1) × δa / (1 − δa) である。ここで a は上昇ラダー過程のドリフトである。
• c → ∞ のとき、占有可能時間と上昇通過時刻の同時ラプラス変換は、W^{(θ)′}(b−a)/W^{(θ)}(b−a) を含む式に収束し、定常的挙動を反映する。
• a → −∞ のとき、c を初めて通過するまでの占有可能時間のラプラス変換は、W^{(θ)′}(c−b)/W^{(θ)}(c−b) に収束し、これはスケール関数の導関数比に対応する。
• 無限時間枠における占有可能時間の恒等式は、有界および無限変動路径の両方で成立し、近似および極限の議論によって確認された。