[論文レビュー] Octahedral, dicyclic and special linear solutions of some unsolved Hamilton-Waterloo problems

Simona Bonvicini, Marco Buratti|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2016

graph theory and CDMA systems参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、非アーベル群を用いた正則2因子分解を通じて、完全グラフおよびカクテルパーティー・グラフの sharply-vertex-transitive 解を構成することにより、Danziger, Quattrocchi, and Stevens が残した9つの未解決のハミルトン＝ウォータールー問題 (HWPs) を解決する。K₄₈−I に対しては二進的八面体群を、K₂₄−I に対しては特殊線形群 SL₂(3) を用い、指定された三角形因子および四角形因子をもつ G-regular 分解を達成した。これにより、すべての未解決ケースが解かれた。

ABSTRACT

We give a sharply-vertex-transitive solution of each of the nine Hamilton-Waterloo problems left open by Danziger, Quattrocchi and Stevens.

研究の動機と目的

• Danziger, Quattrocchi, and Stevens が残した9つの未解決のハミルトン＝ウォータールー問題 (HWPs) を解消すること。
• 非アーベル群を用い、単一の対合をもつものとして、完全グラフおよびカクテルパーティー・グラフの sharply-vertex-transitive (G-regular) 2因子分解を構成すること。
• K₄₈−I および K₂₄−I において、指定された数の三角形因子および四角形因子をもつような因子分解が存在することを示すこと。
• 非アーベル群上のカイリー・グラフにおける部分差分法を応用し、サイクル分解を達成し、2因子分解を導出すること。
• HWP(48;3,4;5,18)、HWP(48;3,4;7,16)、HWP(48;3,4;9,14)、HWP(48;3,4;13,10)、HWP(48;3,4;15,8)、HWP(48;3,4;17,6)、および HWP(24;3,4;5,5) に対して G-regular 解の存在を確立すること。

提案手法

• 著者らは、K₄₈−I に対して、頂点推移的自己同型群として二進的八面体群 G（記号で ḞO と表記）を用い、G∖{1} および G∖{1,−1} 上のカイリー・グラフを構成する。
• 彼らは、G のカイリー・グラフにおいて9つの基本サイクル C₁ から C₉ を定義し、それぞれが部分差分による軌道分解を可能にする安定化子をもつ。
• 各基本サイクル Cᵢ に対して、軌道 Orb_G(Cᵢ) は、G の対称的部分集合 Ωᵢ を用いたカイリー・グラフ Cay[G:Ωᵢ] のサイクル分解を形成する。
• 対称的部分集合 Ωᵢ は部分差分により計算され、G∖{1,−1} を分割することが示され、K₄₈−I の完全な分解が保証される。
• 2因子 Fᵢ は、部分群 Sᵢ（K、G、または L）による作用の軌道として形成され、安定化子のおかげでそれぞれの軌道長が3、1、または4となる。
• K₂₄−I については、特殊線形群 SL₂(3) を頂点推移的群として用い、基本サイクル C₁ から C₆ が、G∖{E,2E} への対称集合 Ωᵢ の分割を通じて、K₂₄−I の G-regular サイクル分解を形成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 K₄₈−I に対して、正確に r 個の三角形因子と残りが四角形因子である G-regular 2因子分解が存在するか？（r ∈ {5,7,9,13,15,17}）
• RQ2 K₂₄−I に対して、正確に r 個の三角形因子と残りが四角形因子である G-regular 2因子分解が構成可能か？（r ∈ {5,7,9}）
• RQ3 非アーベルカイリー・グラフにおける部分差分法を用いて、完全グラフおよびカクテルパーティー・グラフの sharply-vertex-transitive 2因子分解を構成可能か？
• RQ4 単一の対合をもつ群と特定の部分群安定化子を用いて、K₄₈−I および K₂₄−I の正則2因子分解を達成可能か？
• RQ5 部分差分から導かれる対称的部分集合 Ωᵢ が、単位元および対合を除く群を分割し、完全なサイクル分解を保証するか？

主な発見

• K₄₈−I に対して、正確に5個の三角形因子と18個の四角形因子をもつ G-regular 2因子分解が存在し、HWP(48;3,4;5,18) が解かれた。
• K₄₈−I に対して、正確に7個の三角形因子と16個の四角形因子をもつ G-regular 2因子分解が存在し、HWP(48;3,4;7,16) が解かれた。
• K₄₈−I に対して、正確に9個の三角形因子と14個の四角形因子をもつ G-regular 2因子分解が存在し、HWP(48;3,4;9,14) が解かれた。
• K₄₈−I に対して、正確に13個の三角形因子と10個の四角形因子をもつ G-regular 2因子分解が存在し、HWP(48;3,4;13,10) が解かれた。
• K₄₈−I に対して、正確に15個の三角形因子と8個の四角形因子をもつ G-regular 2因子分解が存在し、HWP(48;3,4;15,8) が解かれた。
• K₄₈−I に対して、正確に17個の三角形因子と6個の四角形因子をもつ G-regular 2因子分解が存在し、HWP(48;3,4;17,6) が解かれた。また、K₂₄−I に対して5個の三角形因子と5個の四角形因子をもつ G-regular 2因子分解が存在し、HWP(24;3,4;5,5) が解かれた。