[論文レビュー] Octonion Algebra and Noise-Free Fully Homomorphic Encryption (FHE) Schemes

Yongge Wang|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2016

Polynomial and algebraic computation被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、有限環 ℤₙ 上のクaternion代数およびオクタニオン代数に基づく、初めてのノイズフリーな完全準同型暗号（FHE）方式を提案する。この方式は、多変数二次方程式および一変数高次多項式方程式系の解法の困難性に裏打ちされ、弱い暗号文のみ攻撃モデルにおいても安全である。この方式はブートストラップを必要とせず、プライバシー保護計算およびクラウド環境におけるプログラムオブスカリティ化を効率的に可能にする。

ABSTRACT

Brakerski showed that linearly decryptable fully homomorphic encryption (FHE) schemes cannot be secure in the chosen plaintext attack (CPA) model. In this paper, we show that linearly decryptable FHE schemes cannot be secure even in the ciphertext only security model. Then we consider the maximum security that a linearly decryptable FHE scheme could achieve. This paper designs fully homomorphic symmetric key encryption (FHE) schemes without bootstrapping (that is, noise-free FHE schemes). The proposed FHE schemes are based on quaternion/octonion algebra and Jordan algebra over finite rings Z_n and are secure in the weak ciphertext-only security model assuming the hardness of solving multivariate quadratic equation systems and solving univariate high degree polynomial equation systems in Z_n. It is up to our knowledge that this is the first noise-free FHE scheme that has ever been designed with a security proof (even in the weak ciphertext-only security model). It is argued that the weak ciphertext-only security model is sufficient for various applications such as privacy preserving computation in cloud. As an example, the proposed FHE schemes are used to construct obfuscated programs. This example could be further used to show that the scheme presented in this paper could be combined with existing FHE schemes with bootstrapping to obtain more efficient FHE schemes with bootstrapping in the fully CPA model. At the end of the paper, we point out the insecurity of several recently proposed noise-free FHE schemes.

研究の動機と目的

• 弱い暗号文のみ攻撃モデルですら線形的に復号可能なFHE方式が安全である可能性を、従来の仮定の妥当性に疑問を呈する。
• ブートストラップを必要としないノイズフリーな完全準同型対称鍵暗号方式を設計し、ノイズの蓄積を排除することで効率性を向上させる。
• ℤₙ 上の多変数二次方程式および一変数高次多項式方程式系の解法の困難性に基づく、提案されたFHE方式の安全性の証明を確立する。
• オブfuscatedプログラムの構築を通じて実用的応用を示し、既存のブートストラップ付きFHE方式との統合可能性を検討する。
• 最近提案された複数のノイズフリーFHE方式における脆弱性を特定・暴露し、それらが標準的なセキュリティモデルで破綻する理由を明らかにする。

提案手法

• 有限環 ℤₙ 上の非可換代数的構造（クォタニオンおよびオクタニオン代数）を活用し、暗号化および準同型演算を構築する。
• 準同型評価に必要な代数的演算に対して閉じており安定した性質を有するよう、ℤₙ 上のジョルダン代数を用いる。
• ノイズの増大を伴わずに、符号化された要素に対して直接的に準同型評価が可能な対称鍵暗号方式を設計する。
• 多変数二次方程式系および一変数高次多項式方程式系の解法の計算的困難性を、セキュリティの基盤とする。
• 暗号文から平文に関する情報が漏洩しないようにすることで、暗号文のみ攻撃に対して安全なFHE方式を構築する。
• 代数的構造の性質を活用し、ノイズ管理やブートストラップを必要とせずに、準同型加算および乗算を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 選択平文攻撃においても不正であることが判明している線形的に復号可能なFHE方式が、弱い暗号文のみ攻撃モデルにおいても安全である可能性はあるか？
• RQ2 有限環 ℤₙ 上で、ノイズフリーな完全準同型暗号を支えることができる代数的構造は何か？
• RQ3 ブートストラップを必要とせず、標準的な仮定のもとで安全な完全準同型対称鍵暗号方式を構築することは可能か？
• RQ4 ℤₙ 上のオクタニオンおよびジョルダン代数を用いて、効率的かつ安全なFHEプリミティブを設計する方法は何か？
• RQ5 最近提案された複数のノイズフリーFHE方式に存在するセキュリティ上の欠陥は何か？ なぜそれらは標準的なセキュリティモデルで失敗するのか？

主な発見

• 提案されたFHE方式は、弱い暗号文のみ攻撃モデルでさえも、形式的な安全性証明を持つ最初のノイズフリーな完全準同型暗号方式である。
• 安全性は、ℤₙ 上の多変数二次方程式系および一変数高次多項式方程式系の解法の困難性に基づくものであり、明確な計算的困難性仮定を提供する。
• 暗号文のみ攻撃に対して安全性が保証されており、クラウド環境におけるプライバシー保護計算に、このような弱いセキュリティモデルが十分に機能することを示している。
• この構成により、オブfuscatedプログラムの作成が可能となり、理論的なFHEを越えた実用的利便性を示している。
• 最近提案された複数のノイズフリーFHE方式が不正であることが判明し、設計および仮定の欠陥が明らかになった。
• この方式は、既存のブートストラップ付きFHE方式と組み合わせることで、完全CPAセキュアモデルにおけるより効率的なFHEシステムを実現できる。