[論文レビュー] Odd colourings, conflict-free colourings and strong colouring numbers

Robert Hickingbotham|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2022

Limits and Structures in Graph Theory被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、任意のグラフの衝突なし彩色数が、2強彩色数の2倍から1を引いた値以下であることを確立しており、$k$-平面的および$K_t$-マイナー自由グラフに対してタイトな境界を導出する。さらに、有界拡張性を示すグラフクラスは、有界な奇彩色数および衝突なし彩色数を持つことを示し、$k$-平面的グラフに対して既存の$O(k^5)$の境界を$O(k)$に改善する。

ABSTRACT

The odd chromatic number and the conflict-free chromatic number are new graph parameters introduced by Petruševski and Škrekovski [2021] and Fabrici, Lužar, Rindošová and Soták [2022] respectively. In this note, we show that graphs with bounded $2$-strong colouring number have bounded odd chromatic number and bounded conflict-free chromatic number. This implies that graph classes with bounded expansion have bounded odd chromatic number and bounded conflict-free chromatic number. Moreover, it follows by known results that the odd chromatic number and the conflict-free chromatic number of $k$-planar graphs is $O(k)$ which improves a recent result of Dujmović, Morin and Odak [2022].

研究の動機と目的

• 2強彩色数の観点から、衝突なし彩色数のタイトな上界を確立すること。
• 有界拡張性を示すグラフクラスが、有界な奇彩色数および衝突なし彩色数を持つことを示すこと。
• $k$-平面的および$K_t$-マイナー自由グラフの奇彩色数および衝突なし彩色数に対する既存の上界を改善すること。
• $K_t$-マイナー自由グラフの衝突なし彩色数に対する、これまでに知られていた最初の上界を提供すること。
• 強彩色数を中心的なパラメータとして用いて、最近の奇彩色および衝突なし彩色に関する結果を統合・拡張すること。

提案手法

• 2強彩色数$\operatorname{scol}_2(G)$を、すべての頂点順序についての、$R(G,\preceq,v,2)$の最大サイズの最小値として定義する。ここで$R(G,\preceq,v,2)$は、$v$からインデックスが増加する経路を介して到達可能な頂点の集合を含む。
• 頂点順序に従って色を割り当てることで衝突なし彩色を構築し、各頂点が左隣の頂点および順序上距離2以内の頂点で使われた色を避けるようにする。
• 鳩の巣原理を用いて、各頂点に対して$[2\operatorname{scol}_2(G)-1]$の範囲内で利用可能な色が保証され、適切かつ衝突なしの性質が満たされることを保証する。
• 各頂点の左隣の頂点が、その閉近傍内で一意な色を保つことを証明し、衝突なし条件を満たす。
• $k$-平面的および$K_t$-マイナー自由グラフにおける$\operatorname{scol}_2(G)$の既知の境界を活用して、衝突なし彩色数の定量的上界を導出する。
• この結果を応用して、有界拡張性クラスが有界な奇彩色数および衝突なし彩色数を持つことを示し、これらのクラスが有界な$\operatorname{scol}_2(G)$を持つことを利用している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 衝突なし彩色数は2強彩色数の関数として上界で抑えられるか？
• RQ2 このような上界が、有界拡張性を示すグラフクラスに与える影響は何か？
• RQ3 この上界は、$k$-平面的グラフに対する既存の上界をどのように改善するか？
• RQ4 このアプローチを用いて、$K_t$-マイナー自由グラフの衝突なし彩色数に対する初めての上界を得られるか？
• RQ5 強彩色数は、奇彩色数などの他のグラフ彩色パラメータをどの程度制御できるか？

主な発見

• 任意のグラフ$G$に対して、衝突なし彩色数$\chi_{\text{pcf}}(G)$は$2\operatorname{scol}_2(G) - 1$以下であり、この上界はタイトである。
• $k$-平面的グラフに対して、$\chi_{\text{pcf}}(G) \leq 60k + 59$であり、以前の$O(k^5)$の境界を改善する。
• $K_t$-マイナー自由グラフに対して、$\chi_{\text{pcf}}(G) \leq 5(t-1)(t-2) - 1$であり、このクラスに対する初めての既知の上界を提供する。
• 有界拡張性を示すグラフクラスは、有界な奇彩色数および衝突なし彩色数を持つ。これは、これらのクラスが有界な$\operatorname{scol}_2(G)$を持つことによる。
• $k$-平面的グラフの奇彩色数は、今や$O(k)$であることが分かっており、以前の$O(k^5)$の結果を改善する。
• 証明技法により、適切かつ衝突なしの性質を満たす、構成的でグリーディな彩色アルゴリズムが得られ、$2\operatorname{scol}_2(G) - 1$色のみを用いる。