[論文レビュー] Odd Entries in Pascal's Trinomial Triangle

Steven R. Finch, Pascal Sebah+1 more|ArXiv.org|Feb 19, 2008

History and Theory of Mathematics参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、パスカルの三項係数三角形における奇数係数の個数、すなわち $ g(n) $ として定義される $ (1+x+x^2)^n $ の奇数項の個数を調査する。モーシェのアルゴリズムと確率的行列積のリャプノフ指数解析を用いて、$ \mathop{\mathrm{E}}(\ln g(N)) $ および $ \ln \mathop{\mathrm{E}}(g(N)) $ の漸近的成長率を導出する。$ \frac{\ln \mathop{\mathrm{E}}(g(N))}{\ln n} \to \frac{\ln \xi}{\ln 2} $ が成り立ち、$ \xi \approx 2.813 $ であることを示し、三項係数のリャプノフ指数に関する予想を、三つの異なる行列を用いた再定式化された行列積の形で確認する。

ABSTRACT

The nth row of Pascal's trinomial triangle gives coefficients of (1+x+x^2)^n. Let g(n) denote the number of such coefficients that are odd. We review Moshe's algorithm for evaluating asymptotics of g(n) -- this involves computing the Lyapunov exponent for certain 2x2 random matrix products -- and then analyze further examples with more terms and higher powers of x.

研究の動機と目的

• 三項係数 $ (1+x+x^2)^n $ の展開における奇数係数の個数 $ g(n) $ の漸近的挙動を分析すること。
• 二項係数の場合に限らず、三項係数やそれ以上の次数の係数に対しても、リャプノフ指数を計算するためのモーシェのアルゴリズムを拡張すること。
• 既知の二項係数から三項係数への一般化により、$ \mathop{\mathrm{E}}(\ln g(N)) $ および $ \ln \mathop{\mathrm{E}}(g(N)) $ の正確な漸近的成長率を導出すること。
• 三項係数の場合のリャプノフ指数に関する予想を、三つの異なる行列を用いた再定式化された行列積の形で、厳密に証明すること。

提案手法

• 三項係数三角形を2で割った剰余に基づいて得られる $ 3 \times 3 $ 行列 $ D_s $ を用いて、$ D_{n_{k-1}} D_{n_{k-2}} \cdots D_{n_0} $ の行列積により $ g(n) $ を計算するモーシェのアルゴリズムを適用する。
• $ D_s(i,j) = \#\{ t : B_j^{s,t} = A_i \} $ を定義する。ここで $ B_j^{s,t} $ は、三項係数三角形の偶奇位置にある要素から抽出されたベクトルである。
• 重みベクトル $ w $ とインジケーターベクトル $ e_0 $ を用いて、$ g(n) = w^T D_{n_{k-1}} \cdots D_{n_0} e_0 $ の式を用いて $ g(n) $ を再帰的に計算する。
• 行列 $ D_0 + D_1 $ のスペクトル半径を用いて $ \mathop{\mathrm{E}}(g(N)) $ の成長を分析し、$ \frac{\ln \mathop{\mathrm{E}}(g(N))}{\ln n} \to \frac{\ln \xi}{\ln 2} $ が成り立ち、$ \xi \approx 2.813 $ であることを示す。
• 行列積を $ \tilde{D}_j = D_1 D_0^j $ に再定式化することで、確率 $ 1/2, 1/4, 1/4 $ を持つ三つの行列への還元を実現し、リャプノフ指数の計算を可能にする。
• リャプノフ指数を $ \lambda = \frac{1}{2} \sum_{i,j} \sum_k p_i p_j q^k \ln(\beta_j^T M^k \alpha_i) $ として計算し、$ \lambda / \ln 2 = 1 $ が成り立つことを確認することで、予想の妥当性を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \mathop{\mathrm{E}}(\ln g(N)) $、つまり $ (1+x+x^2)^n $ における奇数係数の個数の期待値の対数の漸近的成長率は何か？
• RQ2 $ \ln \mathop{\mathrm{E}}(g(N)) $、つまり奇数係数の個数の期待値の対数の漸近的成長率は何か？
• RQ3 三項係数に関連する確率的行列積のリャプノフ指数は、二項係数の場合のそれと比べてどう異なるか？
• RQ4 三項係数の場合のリャプノフ指数に関する予想は、三つの異なる行列を用いた再定式化された行列積の形で、厳密に証明可能か？
• RQ5 3k、3k+1、3k+2 の各類に属する整数における2進数表記の1の個数の分布は、3で割った余りの類に依存しないか？

主な発見

• $ \ln \mathop{\mathrm{E}}(g(N)) $ の漸近的成長率は、$ \frac{\ln \mathop{\mathrm{E}}(g(N))}{\ln n} \to \frac{\ln \xi}{\ln 2} $ を満たし、ここで $ \xi \approx 2.813 $ は方程式 $ \xi^3 - 2\xi^2 - 3\xi + 2 = 0 $ の実数解である。
• $ \mathop{\mathrm{E}}(\ln g(N)) $ の漸近的成長率は、$ \frac{\mathop{\mathrm{E}}(\ln g(N))}{\ln n} \to \frac{1}{2} $ を満たし、これは二項係数の場合と類似している。
• 三項係数の行列積に対するリャプノフ指数 $ \lambda $ は、$ \lambda / \ln 2 = 1 $ を満たすことが確認され、三つの行列と適切な重み付けを用いた再定式化により、予想が証明された。
• 合計 $ \sum_{k=0}^{\lfloor n/3 \rfloor} \#(3k) \sim \frac{1}{2\ln 2} \cdot \frac{n}{3} \ln n $ が、$ \#(n) $ を $ n $ の2進数表記における1の個数とするとき、付随的な結果として確立された。
• これらの結果は、3で割った余りの類にかかわらず、2進数表記における1の平均個数が漸近的に独立であることを示唆している。
• 行列の定式化により、ランク1の行列が3つ、ランク2の行列が1つに還元され、$ M^k $ を含む級数を用いたリャプノフ指数の正確な計算が可能になった。