[論文レビュー] Odd-graceful labelings of trees of diameter 5

Christian Barrientos|ArXiv.org|Jul 23, 2008

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、直径5のすべての木が奇数グレーシェルであり、キャタピラーからなる任意の森も奇数グレーシェルであることを証明している。構造的頂点順序と偶奇に基づくラベル割り当てに依存する構成的ラベル付け手法を導入し、すべての誘導辺重みが1から2n−1までの相異なる奇数整数であることを保証することで、これらのグラフクラスにおける奇数グレーシェルラベル付けの妥当性を確認している。

ABSTRACT

A difference vertex labeling of a graph G is an assignment f of labels to the vertices of G that induces for each edge xy the weight |f(x)-f(y)|. A difference vertex labeling f of a graph G of size n is odd-graceful if f is an injection from V(G) to {0,1,...,2n-1} such that the induced weights are {1,3,...,2n-1}. We show here that any forest whose components are caterpillars is odd-graceful. We also show that every tree of diameter up to five is odd-graceful.

研究の動機と目的

• 直径5のすべての木が奇数グレーシェルラベル付けを有することを確立すること。
• 特に非キャタピラー木に対して、αラベル可能なグラフを越えた奇数グレーシェルグラフのクラスを拡張すること。
• 直径5の木およびキャタピラー森のための構成的ラベル付け手法を提供すること。
• Gnanajothiの予想（すべての木が奇数グレーシェルである）を直径5の木について検証することで支援すること。
• ラベルの重複を回避し、すべての奇数重みが正確に一度ずつ使われるような体系的なラベル付け技術を提供すること。

提案手法

• 各レベル内の次数の増加に従って順序付けられた頂点を持つ高さ3の根付き木として、直径5の木を表現する。
• 根に対してf(v) = 0と定義し、レベル1, 2, 3のラベルを再帰関数f(v_{i,j}) = f(v_{i-1,j}) + d(v_{i,j}, v_{i-1,j})（i ≥ 2）を用いて割り当てる。
• レベル1およびレベル3の頂点に奇数ラベル、レベル2の頂点に偶数ラベルを割り当て、隣接するレベル間で偶奇の分離を確保する。
• レベルAの頂点に対してg(x) = 2f(x)、レベルBの頂点に対してg(x) = 2f(x)−1を定義し、αラベル付けを奇数グレーシェルラベル付けに変換する。
• 不等式2n−2deg(v)+1 > 2deg(v_{1,2})−1を用いて、レベル1の最小ラベルがレベル3の最大ラベルを上回ることを確認することで、ラベルの重複を回避する。
• 連続および非連続な親子ラベル差の解析により、すべての辺重みが1から2n−1までの相異なる奇数整数であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直径5のすべての木は奇数グレーシェルか？
• RQ2 ラベルの重複を回避し、すべての奇数辺重みが使用されるように、直径5の木に対して体系的なラベル付け手法を構築可能か？
• RQ3 キャタピラーの素性をもつ森の直和は奇数グレーシェルか？ これはαラベル付け変換から導けるか？
• RQ4 直径5の木の奇数グレーシェルラベル付けは、直径6の木へ拡張可能か？
• RQ5 このラベル付け方式は、直径5を越える他の木の族へ一般化可能か？

主な発見

• 直径5のすべての木が奇数グレーシェルであることが、明示的なラベル付け方式の構築により証明された。この方式により、相異なる奇数辺重みが割り当てられている。
• 不等式2n−2deg(v)+1 > 2deg(v_{1,2})−1を用いて、レベル1の最小ラベル（2n−2deg(v)+1）がレベル3の最大ラベル（2deg(v_{1,2})−1）を上回ることを確認することで、レベル間のラベル重複がないことが保証された。
• この手法により、1から2n−1までのすべての奇数重みが重複なく生成され、ラベル付けが奇数グレーシェルであることが確認された。
• 成分がすべてキャタピラーである任意の森は奇数グレーシェルである。これは、偶数番目の成分のラベルを調整することでラベル重複を回避できるようにラベル付けを適応可能にしたためである。
• αラベル付けから奇数グレーシェルラベル付けへの変換により、この構成が一般化され、辺重みの偶奇性と一意性が保たれている。
• この結果により、Gnanajothiの予想（すべての木が奇数グレーシェルである）が支持され、直径5の木についての検証が拡張された。