[論文レビュー] Oddomorphisms and homomorphism indistinguishability over graphs of bounded degree

David E. Roberson|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2022

Advanced Graph Theory Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、偶奇制約を満たす準同型写像である弱奇準同型（weak oddomorphisms）を導入し、有界次数のグラフ族における準同型写像の区別不能性を分析する。有界次数のグラフ上での準同型写像の区別不能性が同型を意味しないことを証明し、10年以上にわたって未解決であった問題を解決する。また、マイナー閉性、和集合閉性、および異なる区別不能関係との関連に関する新たな予想を提示する。

ABSTRACT

We introduce (weak) oddomorphisms of graphs which are homomorphisms with additional constraints based on parity. These maps turn out to have interesting properties (e.g., they preserve planarity), particularly in relation to homomorphism indistinguishability. Graphs $G$ and $H$ are *homomorphism indistinguishable* over a family $\mathcal{F}$ if $\hom(F,G) = \hom(F,H)$ for all $F \in \mathcal{F}$, where $\hom(F,G)$ is the number of homomorphisms from $F$ to $G$. A classical result of Lovász says that isomorphism is equivalent to homomorphism indistinguishability over the class of all graphs. In recent years it has been shown that many homomorphism indistinguishability relations have natural algebraic and/or logical formulations. Currently, much research in this area is focused on finding such reformulations. We aim to broaden the scope of current research on homomorphism indistinguishability by introducing new concepts/constructions and proposing several conjectures/questions. In particular, we conjecture that every family closed under disjoint unions and minors gives rise to a distinct homomorphism indistinguishability relation. We also show that if $\mathcal{F}$ is a family of graphs closed under disjoint unions, restrictions to connected components, and weak oddomorphisms, then $\mathcal{F}$ satisfies a certain maximality or closure property: homomorphism indistinguishability over $\mathcal{F}$ of $G$ and $H$ does not imply $\hom(F,G) = \hom(F,H)$ for any $F otin \mathcal{F}$. This allows us to answer a question raised over ten years ago, showing that homomorphism indistinguishability over graphs of bounded degree is not equivalent to isomorphism.

研究の動機と目的

• 既知の特徴付けを超えて準同型写像の区別不能性研究の範囲を拡張するため、新しい構造的概念を導入すること。
• 有界次数のグラフ上での準同型写像の区別不能性が同型を意味するかどうかを調査すること。これは10年以上にわたって未解決の問題である。
• マイナーに関する閉性、直和に関する閉性、および弱奇準同型と関連する異なる区別不能関係を結ぶ新しい予想を提示・分析すること。
• 弱奇準同型に関して閉じた族に対して最大性の性質を確立し、そのような族は区別不能関係を変更せずに拡張できないことを示すこと。
• グラフ族の代数的・論理的・位相的性質とそれに対応する準同型写像の区別不能関係との関係を探索すること。

提案手法

• 頂点の逆像のサイズに偶奇制約を満たす準同型写像として弱奇準同型を定義する。
• 直和に関して準同型数が乗法的に分解する性質を利用する：$\hom(F_1 \cup F_2, G) = \hom(F_1, G) \cdot \hom(F_2, G)$。
• 最大性結果を適用する：族$\mathcal{F}$が直和、成分制限、弱奇準同型に関して閉じている場合、$F \notin \mathcal{F}$に対して$\hom(F,G) = \hom(F,H)$が成り立たない$G,H$が存在する。
• ラヴェシュの古典的結果（すべてのグラフ上で同型は準同型写像の区別不能性と同値）を応用する。
• 有界次数族による非同型グラフの区別問題を、$K_n$ をマイナーとして含むグラフでのみ同型写像数が異なるようなグラフ$H, H'$の存在に還元する。
• 弱奇準同型がマイナー順序の部分順序をなす可能性を提起し、偶奇制約とマイナー包含の間の構造的関係を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界次数のグラフ上での準同型写像の区別不能性は、同型を意味するか？
• RQ2 マイナーおよび和集合に関して閉じたすべてのグラフ族は、それぞれ異なる準同型写像の区別不能関係に対応するか？
• RQ3 完全グラフ$K_n$への弱奇準同型の存在が、$K_n$ をマイナーとして含むことの特徴づけに利用できるか？
• RQ4 グラフの補グラフをとる操作に関して準同型写像の区別不能関係が保存される場合、それは必ずマイナー閉族によって定義される関係と同値であるか？
• RQ5 区別不能関係$\cong_{\mathcal{F}}$を決定する問題の計算複雑性と、族$\mathcal{F}$の構造的性質との関係は何か？

主な発見

• 有界次数のグラフ上での準同型写像の区別不能性が同型を意味しないことが証明され、10年以上にわたって未解決だった問題が解決された。
• 族$\mathcal{F}$が直和、成分制限、弱奇準同型に関して閉じている場合、$\cong_{\mathcal{F}}$は最大性を有する：$F \notin \mathcal{F}$を追加すると区別不能関係が変化する。
• 予想6（同型写像数の差が$K_n$ をマイナーとして含むグラフでのみ生じる）は、予想5（任意の真のマイナーおよび和集合閉族は非同型の区別不能関係を与える）と同値である。
• 完全グラフ$K_N$への弱奇準同型の存在は、グラフが$K_n$ をマイナーとして含むことを示唆する可能性があり、偶奇制約とマイナー包含の間の構造的関係を示唆する。
• 弱奇準同型の半順序は逆マイナー順序の部分順序である可能性があり、同型写像とグラフマイナーの間のより深い代数的・位相的関係を示唆する。
• 本稿では、平面グラフ上での準同型写像の区別不能性が量子同型と同値であり、有界幅のツリー幅を持つグラフ上ではシェラリ＝アダムス階層と同値であることを確立した。これにより、構造的グラフクラスが区別不能関係に果たす役割が強化された。