[論文レビュー] Odds-On Trees

Prosenjit Bose, Luc Devroye+4 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2010

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 38被引用数 5

ひとこと要約

この論文では、幾何検索問題のクエリ処理を高速化するためのデータ構造として、O(n^ε)のサイズを持つ odds-on ツリーを提案する。この構造は、クエリ分布に配慮した構造を用いて高速なクエリをフィルタリングし、残りのクエリは既存のO(log n)時間のデータ構造Sに延期する。主な結果は、期待クエリ時間がO(H* + 1)であることであり、H*は問題の線形意思決定木に対する情報理論的下界である。

ABSTRACT

Let R^d -> A be a query problem over R^d for which there exists a data structure S that can compute P(q) in O(log n) time for any query point q in R^d. Let D be a probability measure over R^d representing a distribution of queries. We describe a data structure called the odds-on tree, of size O(n^\epsilon) that can be used as a filter that quickly computes P(q) for some query values q in R^d and relies on S for the remaining queries. With an odds-on tree, the expected query time for a point drawn according to D is O(H*+1), where H* is a lower-bound on the expected cost of any linear decision tree that solves P. Odds-on trees have a number of applications, including distribution-sensitive data structures for point location in 2-d, point-in-polytope testing in d dimensions, ray shooting in simple polygons, ray shooting in polytopes, nearest-neighbour queries in R^d, point-location in arrangements of hyperplanes in R^d, and many other geometric searching problems that can be solved in the linear-decision tree model. A standard lifting technique extends these results to algebraic decision trees of constant degree. A slightly different version of odds-on trees yields similar results for orthogonal searching problems that can be solved in the comparison tree model.

研究の動機と目的

• 幾何検索問題の期待クエリ時間を、クエリ分布を活用することで短縮するデータ構造の設計。
• 線形意思決定木に対する情報理論的下界H*に近い性能を達成すること。
• 線形意思決定木モデルにおける多様な幾何問題に適用可能な一般枠組みの提供。
• リフト技術を用いて代数的意思決定木へ、比較木モデルにおける変種を用いて直交問題へとアプローチを拡張すること。

提案手法

• odds-on ツリーは、R^d 上の確率測度Dを用いてクエリ分布を表現する。
• 階層的で分布感受性の構造を用いて、頻繁にクエリされる点を高速パスへルーティングする。
• 高確率のクエリが迅速に解決されるように保証しながら、O(n^ε)のサイズを維持する。
• 残りのケースについては、O(log n)時間でクエリに応答する既存のデータ構造Sと統合する。
• リフト技術により、定数次数の代数的意思決定木へとこの手法を拡張する。
• 比較木モデルにおける直交検索問題向けに、odds-on ツリーの変種を適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何検索問題において、情報理論的下界H*に近い期待クエリ時間を持つデータ構造を設計できるか？
• RQ2 最悪ケースの保証を損なわず、クエリ分布を活用して検索を高速化する方法は何か？
• RQ3 分布感受性検索における、データ構造のサイズと期待クエリ時間のトレードオフは何か？
• RQ4 この枠組みを代数的意思決定木および直交問題へ一般化できるか？
• RQ5 分布感受性フィルタリングによって達成可能な性能向上の理論的限界は何か？

主な発見

• odds-on ツリーは、期待クエリ時間をO(H* + 1)に達成し、定数加法項を除いて情報理論的下界と一致する。
• データ構造のサイズは任意のε > 0に対してO(n^ε)であり、コンパクトでありながら強力な性能向上を実現する。
• この枠組みは、点位置決定、多角形内点検査、レイシューティング、最近傍点、アレンジメント点位置決定問題に広く適用可能である。
• リフト技術により、定数次数の代数的意思決定木へも結果を拡張でき、期待クエリ時間の境界を保持する。
• odds-on ツリーの変種は、比較木モデルにおける直交検索問題に対しても同様の性能向上を達成する。
• 本手法は、分布感受性設計が複数の幾何検索問題において近似的に最適な期待性能を達成できることを示している。