[論文レビュー] Off-diagonal asymptotic properties of Bergman kernels associated to analytic Kähler potentials

Hamid Hezari, Zhiqin Lu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、コンpact Kähler多様体上の正の線束のテンソル冪に関連するBergman核の完全な非対角漸近展開を、Kählerポテンシャルが実解析的である場合に確立する。[BeBeSj08]の手法により得られる形の係数の上界 $ C^m m!^2 $ を用いて、著者らは、この展開が非対角近傍の $ k^{-1/4} $-近傍で一様に成り立つことを示した。これは、滑らかなポテンシャルに対しては知られていた $ k^{-1/2} $-近傍を改善するものである。この結果により、解析的設定における漸近的制御が鋭くされ、定曲率の複素ホロモルフィック断面曲率を持つ場合にBermanの固定近傍結果が回復される。

ABSTRACT

We prove a new off-diagonal asymptotic of the Bergman kernels associated to tensor powers of a positive line bundle on a compact Kähler manifold. We show that if the Kähler potential is real analytic, then the Bergman kernel accepts a complete asymptotic expansion in a neighborhood of the diagonal of shrinking size $k^{-\frac14}$. These improve the earlier results in the subject for smooth potentials, where an expansion exists in a $k^{-\frac12}$ neighborhood of the diagonal. We obtain our results by finding upper bounds of the form $C^m m!^{2}$ for the Bergman coefficients $b_m(x, \bar y)$, which is an interesting problem on its own. We find such upper bounds using the method of Berman-Berndtsson-Sjöstrand. We also show that sharpening these upper bounds would improve the rate of shrinking neighborhoods of the diagonal $x=y$ in our results. In the special case of metrics with local constant holomorphic sectional curvatures, we obtain off-diagonal asymptotic in a fixed (as $k o \infty$) neighborhood of the diagonal, which recovers a result of Berman [Ber] (see Remark 3.5 of [Ber] for higher dimensions). In this case, we also find an explicit formula for the Bergman kernel mod $O(e^{-k δ} )$.

研究の動機と目的

• 実解析的Kählerポテンシャル設定下でのBergman核に対する完全な非対角漸近展開を確立すること。
• 滑らかなポテンシャルに対しては既知の $ k^{-1/2} $-近傍を超えて、その展開が成り立つ近傍のサイズを改善すること。
• 展開の有効性に不可欠な、Bergman核係数 $ b_m(x, \bar{y}) $ に対する定量的上界、特に $ C^m m!^2 $ の形の上界を導出すること。
• これらの係数上界を鋭くすることで、漸近展開における近傍サイズをさらに改善できることを示すこと。
• 定曲率の複素ホロモルフィック断面曲率を持つ場合に、Bermanの固定近傍結果を回復・拡張すること。

提案手法

• Bergman核係数 $ b_m(x, \bar{y}) $ の上界が $ C^m m!^2 $ の形に得られるように、[BeBeSj08]の手法を用いる。これは漸近展開における剰余項の制御に不可欠である。
• 形式的な非対角展開を $ K_k(x,y) = e^{k\psi(x,\bar{y})} \frac{k^n}{\pi^n} \left(1 + \sum_{j=1}^{N_0(k)-1} \frac{b_j(x,\bar{y})}{k^j} \right) + \text{剰余} $ の形で構成する。ここで $ \psi $ はKählerポテンシャル $ \phi $ の正則拡張である。
• $ N_0(k) = \left[\left(\frac{k}{C}\right)^{1/2}\right] $ を定義し、これにより展開に含める項数を決め、$ k^{-1/4} $-近傍で剰余が一様に制御されることを保証する。
• 核のスケーリング極限から得られる係数 $ A_m(x,y,\theta) $ の輸送方程式を用いて、展開項を再帰的に定義する。
• 展開係数 $ b_m(x,\bar{y}) $ と $ A_m $-係数の間の関係を $ B(x,z) = \frac{1 + k(x-y)\cdot A(x,y,\theta) + (D_\theta \cdot A)(x,y,\theta)}{\Delta_0(x,y,\theta)} $ により定め、展開の一貫性を保証する。
• 指数的減衰 $ e^{-kD(x,y)/2} $ を制御するため、Calabiのダイアスタシス関数 $ D(x,y) $ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kählerポテンシャルが実解析的である場合、滑らかなポテンシャルに対して知られている $ k^{-1/2} $-近傍を超えて、非対角近傍で完全なBergman核漸近展開を確立できるか？
• RQ2 解析的設定下でのBergman核係数 $ b_m(x, \bar{y}) $ の最良の上界は何か？ そして、それらは展開が成り立つ近傍のサイズにどのように影響するか？
• RQ3 漸近展開が有効な近傍のサイズは、係数 $ b_m $ の減衰速度にどのように依存するか？ また、より鋭い上界を得ることでそのサイズを改善できるか？
• RQ4 定曲率の複素ホロモルフィック断面曲率を持つ計量の特別な場合に、漸近展開を $ k $ に依存しない固定近傍（非対角近傍）にまで拡張できるか？ また、$ O(e^{-k\delta}) $ のオーダーで明示的な公式が得られるか？
• RQ5 $ N $ が $ k $ に依存する場合に、非対角展開の剰余項を定量的に制御できるか？ これにより、$ \sqrt{\log k / k} $ の閾値を超えて有用な展開が得られるか？

主な発見

• Kählerポテンシャルが実解析的である場合、Bergman核は非対角近傍の $ k^{-1/4} $-近傍で完全な漸近展開を有する。これは、滑らかなポテンシャルに対しては知られていた $ k^{-1/2} $-近傍を顕著に改善する。
• 任意の列 $ x_k, y_k $ に対して $ d(x_k, y_k) \leq k^{-1/4} $ を満たすとき、展開は一様に成り立つ。その形は $ |K_k(x_k, y_k)|_{h^k} \sim \frac{k^n}{\pi^n} e^{-kD(x_k, y_k)/2} $ であり、ここで $ D $ はCalabiのダイアスタシス関数である。
• 著者らは、展開の有効性に不可欠な、Bergman係数 $ b_m(x, \bar{y}) $ に対して $ C^m m!^2 $ の上界を確立した。この上界は[BeBeSj08]の手法により導出された。
• $ k^{-1/4} $ よりも近い近傍への縮小は、これらの $ C^m m!^2 $ 上界の改善に依存するため、係数の制御と近傍サイズの間には直接的な関係がある。
• 定曲率の複素ホロモルフィック断面曲率を持つ計量の場合、展開は $ k \to \infty $ において固定された（$ k $ に依存しない）近傍で一様に成り立ち、Bergman核は $ O(e^{-k\delta}) $ のオーダーで明示的に与えられる。
• 展開の剰余項は $ O_{N}(1) $ で制御され、$ N = N_0(k) = \left[\left(\frac{k}{C}\right)^{1/2}\right] $ を選ぶことで、$ k^{-1/4} $-近傍内での剰余が主項より小さくなるようにできる。