[論文レビュー] Łojasiewicz exponents of non-degenerate holomorohic and mixed functions

Mutsuo Oka|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2017

Holomorphic and Operator Theory参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ニュートン境界の組合せ論を用いて、非退化な正則関数および混合関数のŁojasiewicz指数に対する明示的な上界を提示する。Fukuiの推定を是正された推論で精緻化し、Łojasiewicz非退化性のもとで重み付き斉次多項式に対する予想された上界を証明するとともに、強い非退化性条件を用いて混合関数への理論の拡張を図り、摂動のもとでミルナー織りの横断性と同一型性を確立する。

ABSTRACT

We consider Łojasiewicz inequalities for a non-degenerate holomorphic function with an isolated singularity at the origin. We give an explicit estimation of the Łojasiewicz exponent in a slightly weaker form than the assertion in Fukui.For a weighted homogeneous polynomial, we give a better estimation in the form which is conjectured by Brzostowski, Krasinski and Oleksik under under some condition (the Łojasiewicz non-degeneracy). We also introduce Łojasiewicz inequality for strongly non-degenerate mixed functions and generalize this estimation for mixed functions.

研究の動機と目的

• Fukuiの以前の証明における欠陥を是正し、ニュートン境界データを用いて非退化な正則関数のŁojasiewicz指数に対する明示的上界を導出すること。
• Łojasiewicz非退化性のもとで[4]に提示された重み付き斉次多項式に対する予想された上界が成り立つことを検証し、以前の推定を改善すること。
• 強い非退化性条​​件のもとでŁojasiewicz不等式を混合関数へ一般化し、実解析的混合多項式への枠組みの拡張を図ること。
• 関数に単項式を加えることでミルナー織りの位相的型が保存される条件を、等位面の横断性を用いて確立すること。
• 高次の項を含む一般の摂動を施した混合関数について、そのリンクが摂動前と同型であることを示す、位相的同型性と同一型性の証明。

提案手法

• ニュートン境界およびその双対ニュートン図を用いて重みベクトルと面を定義し、特異点の組合せ論的解析を可能にする。
• 標準化された重みベクトル $\hat{P}$ を導入し、支持超平面の方程式を標準化し、勾配の成長率を分析する。
• Łojasiewicz非退化性条件を適用して勾配成分の横断性を保証し、消えうる次数を制御する。
• Łojasiewicz指数の上界を解析的曲線に沿って導くために、$\xi(f)$、$\eta_{J,max}(f)$、$\eta'_{J,max}$ などの重要な不変量を定義する。
• 実部と虚部の勾配ペアを修正し、ヤコビアンの双対ニュートン図を導入することで、混合関数への枠組みの拡張を図る。
• 高次の一般の混合単項式 $R$ を用いた族 $f_s = f + sR$ を用いた摂動論法により、リンクの横断性と同一型性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非退化な正則関数について、Fukuiの手法における欠陥を是正し、ニュートン境界データを用いてŁojasiewicz指数に対する明示的上界を導出可能か？
• RQ2 Łojasiewicz非退化性のもとで、[4]に提示された重み付き斉次多項式に対する予想された上界は成立するか？
• RQ3 $z_i$ と $\bar{z}_i$ を含む混合関数に対して、Łojasiewicz不等式はどのように一般化可能か？
• RQ4 混合関数に高次の単項式を加えると、そのミルナー織りの位相的型が保存される条件は何か？
• RQ5 摂動が一般でかつ十分に高次の項を含む場合、混合関数のリンクはその摂動版と同一型か？

主な発見

• 非退化な正則関数について、Łojasiewicz指数 $\ell_0(f)$ に対する明示的上界が $\max\{\xi(f), \eta_{J,max}(f), \eta'_{J,max}\}$ として確立され、これが成立する。
• Łojasiewicz非退化性のもとで重み付き斉次多項式について、$\ell_0(f) \leq \eta(R)$ が証明され、[4]の予想が裏付けられた。
• Łojasiewicz非退化性条件により、混合関数の勾配成分が解析的曲線上で同時に消えないことが保証され、上界の導出が可能になる。
• 混合関数について、$f$ が強く非退化で $\dim \Gamma(f) = n-1$ であるとき、Łojasiewicz指数は $\eta(R)$ で上から抑えられる。
• $r_0 > 0$ が存在し、すべての $r \leq r_0$ に対して、球面 $S_r$ がすべての $V_s = f_s^{-1}(0)$ と横断的に交わることを示し、リンクの同一型性とミルナー織りの同型性を示す。
• $R$ の次数が $N > \eta''_{J,max}(f) + 1$ であるとき、$f_s = f + sR$ の摂動により、特異点の位相的型が保存されることを、横断性と同一型性の観点から示した。