[論文レビュー] Oka properties of complements of holomorphically convex sets

Yuta Kusakabe|arXiv (Cornell University)|May 17, 2020

Holomorphic and Operator Theory参考文献 26被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、密度性を持つストーン多様体におけるコンpactな正則的凸集合の補集合がオーカ多様体であることを確立し、オーカ理論における長年の未解決問題を解決した。主な結果は、$mathbb{C}^n$（$n>1$）におけるコンパクトな多項式的凸集合の補集合がオーカ多様体であることを確認し、非楕円的オーカ多様体の新たな例を提供するとともに、グロモフの問いに否定的な答えを与える。

ABSTRACT

Our main theorem states that the complement of a compact holomorphically convex set in a Stein manifold with the density property is an Oka manifold. This gives a positive answer to the well-known long-standing problem in Oka theory whether the complement of a compact polynomially convex set in $\mathbb{C}^{n}$ $(n>1)$ is Oka. Furthermore, we obtain new examples of nonelliptic Oka manifolds which negatively answer Gromov's question. The relative version of the main theorem is also proved. As an application, we show that the complement $\mathbb{C}^{n}\setminus\mathbb{R}^{k}$ of a totally real affine subspace is Oka if $n>1$ and $(n,k) eq(2,1),(2,2),(3,3)$.

研究の動機と目的

• $mathbb{C}^n$（$n>1$）におけるコンパクトな多項式的凸集合の補集合がオーカ多様体であるかどうかという未解決問題を解決すること。
• 非楕円的オーカ多様体の新たな例を提供することで、オーカ性から楕円性への含意に関するグロモフの問いに否定的な答えを与えること。
• コンパクトな凸集合上で所定の振る舞いを示す正則的写像の相対的な主定理を確立すること。
• 主定理を特定の幾何的設定（例えば、完全に実なアフィン部分空間や閉球体の和集合の補集合など）に適用すること。
• 密度性を持つストーン多様体におけるグラフの補集合および配置空間からの射影のオーカ性を調査すること。

提案手法

• ストーン多様体の密度性を用い、$mathbb{C}$-完全な正則的ベクトル場のリー代数が、すべての正則的ベクトル場のリー代数に稠密に含まれることを保証する。
• アンダーソン＝レンパート理論を適用し、コンパクトな凸集合上で連続写像を正則的写像へ変形する正則的自己同型を構成する。
• ストーン多様体からオーカ多様体への正則的写像に対して、ホモトピー上昇による相対的オーカ原理を適用し、連続的セクションの近似および変形を保証する。
• 特定の補集合（例えば、格子状に配置された球体の補集合など）の普遍被覆を構成し、密度性を持つ基底空間からオーカ性を移転する。
• $\pi: \mathbb{C} \times \mathbb{C}^{n-1} \to \mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^{n-1}$ の指数写像を用い、$mathbb{C}^n$ 内のコンパクトな凸集合を $mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^{n-1}$ に引き上げ、密度性によりその補集合がオーカであることを保証する。
• 密度性を持つ正則的部分束と有限個の正則的セクションを持つ正則的部分束の補集合に対してオーカ性を適用し、その補集合がオーカ性を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $mathbb{C}^n$（$n>1$）におけるコンパクトな多項式的凸集合の補集合はオーカ多様体か？
• RQ2 密度性を持つストーン多様体におけるコンパクトな正則的凸集合の補集合がオーカ多様体であるかどうかを特定できるか？
• RQ3 オーカ性から楕円性への含意に関するグロモフの問いに否定的な答えを与える非楕円的オーカ多様体が存在するか？
• RQ4 $(n,k) \neq (2,1),(2,2),(3,3)$ かつ $n>1$ のとき、$mathbb{C}^n$ 内の完全に実なアフィン部分空間 $mathbb{R}^k$ の補集合はオーカか？
• RQ5 非正則的関数 $f$ に対して、$mathbb{D} \times \mathbb{C}^n$ 内のグラフ $Gamma_f$ の補集合からの射影 $(\mathbb{D} \times \mathbb{C}^n) \setminus \Gamma_f \to \mathbb{D}$ がオーカ性を満たすかどうかを特徴づけられるか？

主な発見

• 密度性を持つストーン多様体 $Y$ におけるコンパクトな $\mathcal{O}(Y)$-凸集合の補集合はオーカ多様体である。
• 任意の $n > 1$ に対して、$mathbb{C}^n$ 内のコンパクトな多項式的凸集合 $K$ に対して $\mathbb{C}^n \setminus K$ はオーカ多様体であり、これは長年の未解決問題を解決する。
• 任意の $n > 1$ かつ $(n,k) \neq (2,1),(2,2),(3,3)$ に対して、$\mathbb{C}^n \setminus \mathbb{R}^k$ はオーカ多様体であり、実部分空間を除いたオーカ多様体の新たな例を提供する。
• 任意の $n > 1$ および $0 < \varepsilon < 1/2$ に対して、$\mathbb{C}^n \setminus \bigcup_{p \in \mathbb{Z} \times \{0\}^{n-1}} \overline{\mathbb{B}^n(p,\varepsilon)}$ はオーカ多様体であり、これは $mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^{n-1}$ を基底とする構成の普遍被覆を用いて得られる。
• 任意の密度性を持つストーン多様体 $Y$ と任意の $n \in \mathbb{N}$ に対して、射影 $F(Y,n+1) \to F(Y,n)$ はオーカ性を満たし、オーカ性が配置空間へ拡張されることを示す。
• 非正則的で実解析的関数 $f: \mathbb{D} \to \mathbb{C}^n$（$n > 1$）が存在し、例えば $f(z) = (\bar{z}, 0, \ldots, 0)$ のように、射影 $(\mathbb{D} \times \mathbb{C}^n) \setminus \Gamma_f \to \mathbb{D}$ がオーカ性を満たす。これは、この性質に正則性が必須でないことを示している。