[論文レビュー] Okounkov bodies and the K\"ahler geometry of projective manifolds

David Witt Nyström|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2015

Geometry and complex manifolds被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、オクヌーフ体を用いて、複素数空間 ℂⁿ のトーラス不変領域を射影多様体へ埋め込むための構成を確立し、その領域における標準的ユークリッドケーラー形式が、アーモニックまたはビッグな線束の第一チーアン類に属するケーラー形式へ拡張されることを示している。主な結果は、領域の体積がケーラー多様体の体積を任意に良く近似でき、楕円体やその他の領域がモーメント写像近似を通じて多様体の幾何に完璧に適合することである。

ABSTRACT

Given a projective manifold $X$ equipped with an ample line bundle $L$, we show how to embed certain torus-invariant domains $D \subseteq\mathbb{C}^n$ into $X$ so that the Euclidean K\"ahler form on $D$ extends to a K\"ahler form on X lying in the first Chern class of $L$. This is done using Okounkov bodies $\Delta(L)$, and the image of $D$ under the standard moment map will approximate $\Delta(L)$. This means that the volume of $D$ can be made to approximate the K\"ahler volume of $X$ arbitrarily well. As a special case we can let $D$ be an ellipsoid. We also have similar results when $L$ is just big.

研究の動機と目的

• オクヌーフ体と射影多様体上のケーラー幾何との間の幾何的ブリッジを確立すること。
• ℂⁿ のトーラス不変領域に標準的ケーラー形式を備えたものが、その引き戻しが c₁(L) に属するケーラー形式へ拡張されるような、射影多様体 X へのホロモーラフィック埋め込みを示すこと。
• このような領域の体積が、X のケーラー体積を任意に良く近似でき、体積が一致する際に完全に一致することを示すこと。
• ケーラー形式の代わりに解析的特異性をもつケーラー電流を用いることで、ビッグな線束へこの構成を拡張すること。
• セーシャドリ定数の役割を明確化し、中心が任意の点にある場合に、球ではなく楕円体が完全に適合可能であることを示すこと。

提案手法

• オクヌーフ体 ∆(L) に対し、モーメント写像像が ∆(L)° ⊆ µ(D(L)) ⊆ ∆(L) を満たすトーラス不変領域 D(L) ⊆ ℂⁿ を定義する。ここで ∆(L) はオクヌーフ体である。
• 適切な重みベクトル γ ∈ (ℕ>0)ⁿ を用いた H⁰(X, kL) のトーリック退化を用いて、埋め込み f_k: X_{A(kL)} → X の族を構成する。
• 厳密に強下への正則関数 φ に対して max-regularization を適用し、滑らかで厳密に強下への正則関数 φ′ を得る。その曲率形式 ddcφ′ は X 上のケーラー形式を与える。
• 十分大きな k に対して、標準的ケーラー形式 ω_st の引き戻しが、スケーリングと埋め込み f(z) = f′(√k z) を通じて c₁(L) に属するケーラー形式へ拡張されることを示す。
• vol(D(L)) = vol(∆(L)) = (1/n!) vol(L) を用いて体積一致を保証する。
• ケーラー形式の代わりに解析的特異性をもつケーラー電流を用いることで、ビッグな線束へ結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的ケーラー形式 ω_st を備えた領域 D ⊆ ℂⁿ は、その引き戻しが c₁(L) に属するケーラー形式となるような射影多様体 X へホロモーラフィックに埋め込めるか？
• RQ2 このような領域 D の体積を、X のケーラー体積を任意に良く近似できるようにできるか。完全一致は達成可能か？
• RQ3 L が非常に非常にアーモニックであるとき、中心が任意の点 p ∈ X にある標準的な領域（例：楕円体）が、X に完全に適合するか？
• RQ4 セーシャドリ定数 ǫ(X, L, p) は、中心が p にある球 (B_r, ω_st) が X に標準的ケーラー構造で完全に埋め込める最大の r の上限に等しいが、これは最大の楕円体サイズよりも厳密に小さい。
• RQ5 ケーラー形式の代わりにケーラー電流を用いることで、ビッグな線束へこの構成を拡張できるか？

主な発見

• 標準的ケーラー形式 ω_st を備えたオクヌーフ領域 D(L) ⊆ ℂⁿ は、(X, L) に完全に適合しており、∫_{D(L)} ω_st^n = ∫_X c₁(L)^n が成り立つ。
• 埋め込み f: U → X は、f⁻¹(X_i) = {z₁ = ... = z_i = 0} ∩ U となるように選べ、これによりトーラス作用がフラグ構造と一致する。
• L が非常に非常にアーモニックであるとき、オクヌーフ領域 D(L) は楕円体 E(1, ..., 1, (Lⁿ)⁻¹) に一致し、(E(1, ..., 1, (Lⁿ)⁻¹), ω_st) は、任意の点 p ∈ X を中心として (X, L) に完全に適合する。
• セーシャドリ定数 ǫ(X, L, p) は、中心が p にある球 (B_r, ω_st) が (X, L) に完全に埋め込める最大の r の上限に等しく、これは最大の楕円体サイズよりも厳密に小さい。
• ビッグな線束では、解析的特異性をもつケーラー電流を用いることで、結果が拡張される：(D(L), ω_st) は電流の拡張の意味で (X, L) に完全に適合する。
• max-regularization とトーリック退化による構成により、埋め込まれた領域のモーメント写像像が、任意に良くオクヌーフ体 ∆(L) を近似する。