[論文レビュー] Okounkov bodies associated to abundant divisors and Iitaka fibrations

Sung Rak Choi, Jinhyung Park+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、豊富な因子の価値的 Okounkov ボディが、その数値的性質を完全に符号化することを確立し、任意の適切なフラッグに対して、二つの豊富な擬効果的 $\mathbb{R}$-因子が数値的に同値であることと、それらの価値的 Okounkov ボディが一致することとは同値であることを証明する。さらに、豊富な因子の制限付き基底集合 $\mathbf{B}_{-}(D)$ がその価値的 Okounkov ボディから回復可能であることを示し、Iitaka 纤維の Nakayama 部分多様体への制限の次数を用いて、価値的および極限的 Okounkov ボディが一致するための基準を提供する。

ABSTRACT

The aim of this paper is to study the Okounkov bodies associated to abundant divisors. As a main result, we prove that the valuative Okounkov bodies of an abundant divisor encode all the numerical properties. We apply this result to recover the asymptotic base loci of an abundant divisor from the valuative Okounkov bodies. We also give a criterion of when the valuative and limiting Okounkov bodies of an abundant divisor coincide by comparing their Euclidean volumes. To obtain these results, we prove some variants of Fujita's approximations for Okounkov bodies using Iitaka fibrations.

研究の動機と目的

• 豊富な因子の価値的 Okounkov ボディが、その完全な数値的同値類を反映するかどうかを特定すること。
• 豊富な因子の制限付き基底集合 $\mathbf{B}_{-}(D)$ がその価値的 Okounkov ボディから回復可能かどうかを検討すること。
• 価値的および極限的 Okounkov ボディが等しくなるための基準を、Iitaka 纤維の幾何的データを用いて確立すること。

提案手法

• 擬効果的因子に対する価値的および極限的 Okounkov ボディを導入・分析し、既存の大域的因子に関する研究を拡張する。
• 豊富な因子に関連する Iitaka 纤維を用いて、Okounkov ボディを比較するための幾何的枠組みを構築する。
• 極限的 Okounkov ボディのユークリッド体積が、Iitaka 纤維を Nakayama 部分多様体に制限した際の次数に、価値的ボディの体積を乗じたものに等しいことを証明する。
• Fujita の近似定理の変種を用いて、線形系列の漸近的体積と Iitaka 纤維の幾何学的性質との関係を関係づける。
• 点を中心とする適切なフラッグを固定し、価値的 Okounkov ボディに原点が含まれるかどうかを、制限付き基底集合 $\mathbf{B}_{-}(D)$ に属するかどうかの条件と関連付ける。
• Nakayama 部分多様体の対数解体における厳密変換を用いて、Iitaka 纤維の次数と Okounkov ボディの体積への影響を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 豊富な因子の価値的および極限的 Okounkov ボディがいつ一致するか。
• RQ2 点を中心とするすべてのフラッグに対して、原点が価値的 Okounkov ボディに含まれるかどうかが、制限付き基底集合 $\mathbf{B}_{-}(D)$ に属するかどうかを特徴づけることができるか。
• RQ3 豊富な因子の価値的 Okounkov ボディが、その数値的クラスを完全に決定するか。
• RQ4 Iitaka 纤維が Nakayama 部分多様体に制限された際の次数が、価値的および極限的 Okounkov ボディの体積とどのように関係するか。
• RQ5 極限的 Okounkov ボディが、価値的ボディのスケーリング版であるような幾何的条件は存在するか。

主な発見

• 二つの豊富な擬効果的 $\mathbb{R}$-因子が、すべての適切なフラッグに対して価値的 Okounkov ボディが等しいことと、それらが数値的に同値であることは同値である。
• 豊富な因子 $D$ の制限付き基底集合 $\mathbf{B}_{-}(D)$ は、点 $x\in X$ 全体の集合であり、その点 $x$ を中心とする任意のフラッグ $Y_{\bullet}$ に対して、価値的 Okounkov ボディ $\Delta^{\operatorname{val}}_{Y_{\bullet}}(D)$ が原点を含まない点である。
• 極限的 Okounkov ボディのユークリッド体積は、$\operatorname{vol}_{\mathbb{R}^{\kappa(D)}}(\Delta^{\lim}_{Y_{\bullet}}(D)) = \deg(\phi|_{V^{\prime}}) \cdot \operatorname{vol}_{\mathbb{R}^{\kappa(D)}}(\Delta^{\operatorname{val}}_{Y_{\bullet}}(D))$ を満たす。ここで $V^{\prime}$ は対数解体における Nakayama 部分多様体 $V$ の厳密変換である。
• 価値的および極限的 Okounkov ボディが一致することは、Iitaka 纤維の Nakayama 部分多様体への厳密変換 $\phi|_{V^{\prime}}\colon V^{\prime}\to Z$ が一般に単射であることに同値である。
• $D$ が豊富であっても、$\Delta^{\lim}_{Y_{\bullet}}(D)$ が $\Delta^{\operatorname{val}}_{Y_{\bullet}}(D)$ のスカラー倍でない例が存在する。これは、両ボディが一般にはスケーリングで関係づけられないことを示している。
• $Iitaka$ 纤維に切断がない最小の曲面 $S$ で $\kappa(S)=1$ である場合、任意の Nakayama 部分多様体を含む一般の点を含むフラッグに対して、$\Delta^{\operatorname{val}}_{Y_{\bullet}}(K_S)$ と $\Delta^{\lim}_{Y_{\bullet}}(K_S)$ は異なる。