[論文レビュー] Okounkov's BC-type interpolation Macdonald polynomials and their q=1 limit

Tom H. Koornwinder|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2014

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ひとこと要約

本稿は、文献においてこれまで無視されてきた$BC_n$型の補間ジャック多項式を導入し、$q$-類似の極限によってその組合せ的および二項係数の公式を導出する。二変数クーンワインダー多項式の新しい明示的公式を確立し、マクドナルドの元来の公式とは異なる、$BC_n$型ジャック多項式を用いた$BC_n$型ヤコビ多項式係数の新しい組合せ的表現を提示する。

ABSTRACT

This paper surveys eight classes of polynomials associated with $A$-type and $BC$-type root systems: Jack, Jacobi, Macdonald and Koornwinder polynomials and interpolation (or shifted) Jack and Macdonald polynomials and their $BC$-type extensions. Among these the $BC$-type interpolation Jack polynomials were probably unobserved until now. Much emphasis is put on combinatorial formulas and binomial formulas for (most of) these polynomials. Possibly new results derived from these formulas are a limit from Koornwinder to Macdonald polynomials, an explicit formula for Koornwinder polynomials in two variables, and a combinatorial expression for the coefficients of the expansion of $BC$-type Jacobi polynomials in terms of Jack polynomials which is different from Macdonald's combinatorial expression. For these last coefficients in the two-variable case the explicit expression in Koornwinder & Sprinkhuizen (1978) is now obtained in a quite different way.

研究の動機と目的

• 文献においてこれまで観察されていなかった$BC_n$型の補間ジャック多項式を定義し、体系的に研究すること。
• $q$-多項式理論の既知の極限処理を用いて、$BC_n$型補間マクドナルド多項式およびジャック多項式の組合せ的および二項係数の公式を導出すること。
• 補間多項式技法を用いて、二変数クーンワインダー多項式の新しい明示的公式を導出すること。
• $BC_n$型ヤコビ多項式の展開係数をジャック多項式で表す新しい組合せ的表現を提示すること。これはマクドナルドの公式とは異なる。
• 二項係数および補間多項式に基づく包括的で新しい枠組みを用いて、既知の結果（例：二変数$BC_2$型ヤコビ多項式の公式）を回復・再導出すること。

提案手法

• $BC_n$型補間ジャック多項式を、$BC_n$型補間マクドナルド多項式の$q \to 1$極限として導出する。
• 既知の補間マクドナルド多項式の組合せ的公式を応用し、$q=1$の場合の類似公式を得る。
• 補間多項式を含む二項公式を用いて、$BC_n$型ヤコビ多項式をジャック多項式の線形結合として表現する。
• 超幾何級数表現（例：$_4\phi_3$および$_4F_3$）を用いて、補間多項式の正規化および評価を表現する。
• 一般公式を二変数の場合（$n=2$）に特化し、クーンワインダー多項式および$BC_2$型ヤコビ多項式の明示的表現を導出する。
• $q$-超幾何関数から通常の超幾何関数への極限遷移に依拠し、$q$-多項式とその$q=1$対応物を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして$BC_n$型補間ジャック多項式が定義され、構造を持つのか。なぜそれらはこれまで文献で無視されてきたのか。
• RQ2 $BC_n$型ヤコビ多項式の展開係数をジャック多項式で表す新しい組合せ的公式を導出可能か。マクドナルドの表現とは異なる。
• RQ3 補間多項式技法を用いて、二変数クーンワインダー多項式の明示的公式を導出可能か。
• RQ4 補間多項式の二項公式が、$q=1$の場合の新しい極限公式および証明をどのように導くか。
• RQ5 既知の二変数$BC_2$型ヤコビ多項式の公式を、補間多項式および二項公式に基づく新しい体系的枠組みから再導出可能か。

主な発見

• 本稿は、$BC_n$型補間ジャック多項式を、$BC_n$型補間マクドナルド多項式の$q \to 1$極限として導出し、新たな多項式クラスとして同定・定義する。
• $BC_n$型ヤコビ多項式の展開係数をジャック多項式で表す新しい組合せ的公式を導出し、マクドナルドの表現とは異なる。
• 二変数クーンワインダー多項式の明示的公式が、二項公式および極限遷移を用いて得られ、$n=2$に対して有効である。
• $BC_n$型ヤコビ多項式の二項公式が二変数の場合に明示的に評価され、クーンワインダーとスプリンクフイーゼン（1978年）が既に得た$BC_2$型ヤコビ多項式の公式の新しい導出が得られる。
• 二項公式から新しい極限公式（8.4）および既存の極限公式（9.2）の新しい証明が得られ、補間フレームワークの有効性が示される。
• 二変数$BC_2$型ヤコビ多項式の明示的表現が、元来の方法とは全く異なる方法で回復され、本手法の堅牢性および新規性が確認される。