[論文レビュー] Old and new algorithms for pi

Richard P. Brent|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2013

History and Theory of Mathematics被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、πを計算するBrent-Salaminアルゴリズムについて、Prof. Adlajの批判における誤解を是正する。GaussとLegendreが基礎を敷いたが、そのアルゴリズムの効率性は現代の計算技術に依存している。前計算機時代の数学者、たとえばEuler、Legendre、Gaussは、高速乗算や電子計算がなければ実用的でないため、このようなアルゴリズムを評価しなかっただろう。また、算術幾何平均を用いることで、πに限らずすべての初等関数を同程度の効率で計算可能であることを強調する。

ABSTRACT

This is a letter to the editor concerning Semjon Adlaj's article "An eloquent formula for the perimeter of an ellipse", AMS Notices 59, 8 (2012), 1094-1099.

研究の動機と目的

• Brent-Salaminアルゴリズムの歴史的帰属を明確にし、GaussとEulerに名前を付けるという主張を是正する。
• アルゴリズムの重要性が、数学的優位性そのものではなく、現代の計算技術に依存していることを主張する。
• 前計算機時代の数学者、たとえばGauss、Legendre、Eulerが、高速乗算や電子計算がなければ、このようなアルゴリズムを実用的と見なさなかっただろうことを強調する。
• 算術幾何平均が、πに限らずすべての初等関数（e^π や π/e を含む）を、定数倍の差異を除いて同等の速度で評価可能であることを示す。
• πを単一定数として計算することが、意味的または歴史的に関連性のある計算的目標であるという考えを疑問視する。

提案手法

• 1809年5月のGaussの未発表ノートのエントリを含む歴史的資料を分析し、Gaussがその恒等式をπの計算アルゴリズムとして見なしていたかどうかを評価する。
• 逆正弦級数と二進分割を用いた古典的Machin型の公式と比較し、Brent-Salaminアルゴリズムの計算効率を評価する。
• 現代の計算可能性の基準として、高速乗算のためのSchönhage-Strassenアルゴリズムをベンチマークに用いる。
• 算術幾何平均（AGM）の理論を適用し、π、e^π、π/e といったすべての初等関数が、同等の速度で評価可能であることを示す。
• Google検索頻度を用いて「Gauss-Legendre」と「Gauss-Euler」の用語の関連性を評価し、誤解を招く命名法を反論する。
• 19世紀の数学の計算的文脈と現代のアルゴリズム的効率を対比し、技術的依存性を強調する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GaussとEulerの基礎的貢献にもかかわらず、なぜBrent-Salaminアルゴリズムを歴史的にGaussやEulerに名前を付けるのは不適切なのか？
• RQ2 高速乗算法の欠如が、初期のπ計算手法の実用性にどのように影響したのか？
• RQ3 Gaussの1809年のノートエントリは、Brent-Salaminアルゴリズムの開発においてどのような役割を果たしたのか？Gauss自身はそれをどう解釈していたのか？
• RQ4 19世紀の歴史的文脈を考えれば、なぜEuler、Legendre、GaussはBrent-Salaminアルゴリズムを目立ったものとは見なさなかっただろうか？
• RQ5 算術幾何平均を用いることで、πと同程度の効率ですべての初等関数を計算可能なのか？この事実はπ計算の重要性にどのような含意をもたらすのか？

主な発見

• Brent-Salaminアルゴリズムは、Schönhage-Strassenのような高速乗算アルゴリズムがなければ、πを計算する実用的手段とは言えない。
• 二進分割と高速乗算を組み合わせたMachin型の公式は、Brent-Salaminアルゴリズムと同等の性能を示す。
• Gaussの1809年のノートエントリは、おそらく楕円積分を含む恒等式を示しており、πの計算アルゴリズムとしての意図ではない。πは分母にのみ現れる。
• 「Gauss-Legendre」という用語は、主に数値積分法に用いられ、πのアルゴリズムとは関係が薄い。一方、「Gauss-Euler」という用語は、この文脈ではほとんど無関係である。
• 算術幾何平均を用いることで、π、e^π、π/e といったすべての初等関数が、定数倍の差異を除いて同等の漸近的効率で評価可能である。
• πを単一定数として計算することに注目することは、おそらく不適切であり、同じ計算能力があればより広範な定数のクラスが得られる。