[論文レビュー] Old and new approaches to the Sorites paradox

Bruno Dinis|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2017

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非標準解析を用いてソリテスの逆説を解決する新しい手法を提案する。曖昧な述語（例：『山』）を外部数と中性集合（neutrices）でモデル化することで、微小な変化に対する耐性と大規模な違いの出現を厳密に捉える。主な貢献は、標準数が非山（non-heap）を、非標準（無限大）数が山（heap）を表す形式的枠組みを提供することであり、鋭い境界を設けずに、大きさの順序を区別することで逆説を解消する。

ABSTRACT

The Sorites paradox is the name of a class of paradoxes that arise when vague predicates are considered. Vague predicates lack sharp boundaries in extension and is therefore not clear exactly when such predicates apply. Several approaches to this class of paradoxes have been made since its first formulation by Eubulides of Miletus in the IV century BCE. In this paper I survey some of these approaches and point out some of the criticism that these approaches have received. A new approach that uses tools from nonstandard analysis to model the paradox is proposed.

研究の動機と目的

• 曖昧な述語が明確な境界を持たないために生じる、長年のソリテスの逆説の問題を解決すること。
• 認識論的立場、度数理論、ファジィ論理といった従来のアプローチが、耐性と曖昧さを適切にモデル化できないことの批判。
• 微小な変化が真偽値に影響しないが、累積的な変化は影響を与えるという直感を形式的に捉える、非標準解析を用いた新しい形式的枠組みを提案すること。
• 『山』や『背が高い』といった曖昧な概念を、正確な集合ではなく、下界や上界のない外部集合としてモデル化し、中性集合と外部数を用いること。
• ソリテス的推論の文脈において、標準的（有限で直感的）な数と非標準的（無限大）な数を区別することで、逆説が解消されることを示すこと。

提案手法

• 非標準解析を用いて、無限小と外部数によって『微小な変化』と『大きな変化』を定義し、大きな変化は多数の微小な変化の蓄積によって生じることを示す。
• 『山ではない』といった曖昧な述語を外部述語としてモデル化し、粒の数が標準的か非標準的かによって真偽値が決まることを定める。
• 下界や上界を持たない外部集合（中性集合）の概念を用いて、曖昧で曖昧さのある数量を表現し、正確な境界に依存しない。
• 『直感的』（標準的）な自然数と非標準的数の区別を導入し、Reebのスローガン「Les entiers naïfs ne remplissent pas N」を根拠に分離を正当化する。
• 標準的帰納法とソリテスの条件文を非標準的形に変換し、モーダス・ポンエンスを有限（標準的）なステップ数に制限することで、逆説的結論を回避する。
• 外部数の強い代数的法則を用いて、曖昧さを直接モデル化しながら数学的厳密性を保ち、真偽値の数値的度数を必要としない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 真偽値の変化に影響しない微小な変化に対する曖昧な述語の耐性を、真偽度や鋭い境界に依存せずに形式的に捉える方法は何か？
• RQ2 微小な変化が真偽値に影響しないように見えるにもかかわらず、なぜ標準論理ではソリテスの逆説が生じるのか？
• RQ3 非標準解析が、標準的（非山）と非標準的（山）の大きさを区別する数学的に厳密な枠組みを提供できるか？
• RQ4 外部数と中性集合が、正確な閾値を仮定せずに『山』や『背が高い』といった曖昧な概念をどのようにモデル化するか？
• RQ5 非標準論理枠組み内で帰納法と条件文を再解釈することで、ソリテスの逆説を解消することは可能か？

主な発見

• ソリテス的系列が非標準数でモデル化されると、逆説は解消される。標準的数（例：100万）の粒では山にならないが、非標準的数（ω ≈ +∞）ではなる。
• 『山ではない』といった外部述語は標準的数の上に定義され、山への移行は非標準的大きさでのみ発生するため、任意の境界の割り当てを回避できる。
• 個々に無視できる微小な変化の蓄積が、無限に多くのステップを経て、大きな顕著な差にまで及ぼすことは、非標準解析において自然な結果である。
• 真偽値に一意の数値を割り当てないため、度数理論の不自然さを回避し、下界や上界を持たない集合を用いて曖昧さをモデル化する。
• 曖昧語の直感的耐性を保ちながら、隣接する項は区別不能であるが、全体の構造は有限と無限の大きさを区別する。
• 標準的数は倍加に関して閉じている（st(n) → st(2n)）が、st(n) ∧ ¬st(2n) が成り立つ文脈も許容され、一部の代数的性質の損失を犠牲にしながらも柔軟性を保つ。