[論文レビュー] On (1, epsilon)-Restricted Max-Min Fair Allocation Problem

T-H. Hubert Chan, Zhihao Gavin Tang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 13被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、アイテムの価値が1またはε ∈ (0,1)である(1, ε)-制限付きmax-min公平割り当て問題を研究し、(3 + δ)-近似を得るための配置-LPに基づくアプローチを提案する。さらに、準多項式時間の(3 + 4ε)-近似アルゴリズムと、多項式時間の9-近似アルゴリズムを構築し、ε → 0のとき3 + 2√2 ≈ 5.83に近づくことを示している。

ABSTRACT

We study the max-min fair allocation problem in which a set of m indivisible items are to be distributed among n agents such that the minimum utility among all agents is maximized. In the restricted setting, the utility of each item j on agent i is either 0 or some non-negative weight w_j. For this setting, Asadpour et al. [TALG, 2012] showed that a certain configuration-LP can be used to estimate the optimal value within a factor of 4 + delta, for any delta > 0, which was recently extended by Annamalai et al. [SODA 2015] to give a polynomial-time 13-approximation algorithm for the problem. For hardness results, Bezáková and Dani [SIGecom Exch., 2005] showed that it is NP-hard to approximate the problem within any ratio smaller than 2. In this paper we consider the (1, epsilon)-restricted max-min fair allocation problem, in which for some parameter epsilon in (0, 1), each item j is either heavy (w_j = 1) or light (w_j = epsilon). We show that the (1, epsilon)-restricted case is also NP-hard to approximate within any ratio smaller than 2. Hence, this simple special case is still algorithmically interesting. Using the configuration-LP, we are able to estimate the optimal value of the problem within a factor of 3 + delta, for any delta > 0. Extending this idea, we also obtain a quasi-polynomial time (3 + 4 epsilon)-approximation algorithm and a polynomial time 9-approximation algorithm. Moreover, we show that as epsilon tends to 0, the approximation ratio of our polynomial-time algorithm approaches 3 + 2 sqrt{2} approx 5.83.

研究の動機と目的

• 一般のmax-min公平割り当て問題の特殊ケースとして、二値のアイテム価値を持つ(1, ε)-制限付きmax-min公平割り当て問題のアルゴリズム的複雑性を調査すること。
• 構造が単純化されているにもかかわらず、この制限付きケースが近似可能であるかどうかを検証すること。
• 配置-LP技術を用いて、より優れた性能保証を得るための効率的な近似アルゴリズムを設計すること。
• ε → 0のときの近似比の漸近的挙動を分析し、既知の上界と下界の差を埋めることが目的である。

提案手法

• 任意のδ > 0に対して、最適値を3 + δの要因内で推定できるように、(1, ε)-制限付きmax-min公平割り当て問題を配置-LPとして定式化する。
• 配置-LPの解に対して丸めと分解技術を適用し、準多項式時間の(3 + 4ε)-近似アルゴリズムを導出する。
• 反復的丸めと割り当てヒューリスティクスに基づく多項式時間アルゴリズムを設計し、9-近似を達成する。
• ε → 0のときの近似比の漸近的挙動を分析し、3 + 2√2 ≈ 5.83に収束することを示す。
• (1, ε)-設定の構造的性質を活用して配置-LPを単純化し、近似境界を改善する。
• 既知の難易度結果を用いて、問題が2未満の比で近似可能でないことがNP-hardであることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 (1, ε)-制限付きmax-min公平割り当て問題は、アイテム価値構造が単純化されているにもかかわらず、2未満の比で近似可能でないNP-hardのままであるか？
• RQ2 一般ケースよりも(1, ε)-制限付き設定において、配置-LPを効果的に適応することで、より良い近似比が達成可能か？
• RQ3 この制限付き設定において、多項式時間アルゴリズムが達成可能な最良の近似比は何か？また、ε → 0のときの挙動は？
• RQ4 準多項式時間アルゴリズムは、この設定において多項式時間アルゴリズムよりもタイトな近似比を達成可能か？
• RQ5 εが0に近づくとき、提案されたアルゴリズムの近似比は有限の極限に収束するか？

主な発見

• (1, ε)-制限付きmax-min公平割り当て問題は、2未満の比で近似可能でないままNP-hardのままである。
• 配置-LPは、任意のδ > 0に対して最適値を3 + δの要因内で推定できる。
• 配置-LPのアプローチを拡張することで、準多項式時間の(3 + 4ε)-近似アルゴリズムが達成された。
• 多項式時間の9-近似アルゴリズムが開発され、ε → 0のとき3 + 2√2 ≈ 5.83に近づく。
• 多項式時間アルゴリズムの漸近的近似比は3 + 2√2に収束し、εが小さい極限においてタイトな境界を提供する。
• 結果から、この制限付きケースですら顕著なアルゴリズム的複雑性を有しており、洗練された近似技術の必要性が裏付けられる。