[論文レビュー] On 2-dimensional Kaehler metrics with one holomorphic isometry

Samuele Chimento, Tomás Ortı́n|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、1つの正則等距変換をもつ2次元ケーラー計量の一般的アンサンブルを提示し、2つの実関数 $H$ と $W$ を用いてギブンズ＝ホーキング計量の変形として表現する。主な結果は、三正則等距変換をもつハイパーケーラー計量と、単一正則等距変換をもつスカラー平坦ケーラー計量を統一する閉形式の計量構造を提供し、5次元および6次元のファイエト＝イリオポウロス U(1) ゲージ超重力理論における超対称解の構成に強力なアンサンブルを提供する。

ABSTRACT

We show how to write any Kaehler metric of complex dimension 2 admitting a holomorphic isometry as a simple 1-real-function deformation of a Gibbons-Hawking metric. Hyper-Kaehler metrics with a tri-holomorphic isometry (Gibbons-Hawking metrics) or with a mono-holomorphic isometry are recovered for particular values of the additional function. The new general metric can be used as an Ansatz in several interesting physical problems.

研究の動機と目的

• 文献における空白を埋めるために、1つの正則等距変換をもつ2次元ケーラー計量の閉形式表現を提供すること。
• 三正則等距変換をもつハイパーケーラー空間を記述するギブンズ＝ホーキング計量を、単一正則等距変換をもつ計量に一般化すること。
• 5次元および6次元のファイエト＝イリオポウロス U(1) ゲージ超重力理論における超対称解の構成を可能にする、取り扱いやすい計量アンサンブルを提供すること。
• 既知の特殊ケース（例：単一正則等距変換をもつハイパーケーラー計量、スカラー平坦ケーラー計量）を、一貫した枠組み内で統合すること。

提案手法

• 計量は $ds^2 = H^{-1}(dz + \tilde\chi)^2 + H\left[(dx^1)^2 + W^2((dx^2)^2 + (dx^3)^2)\right]$ の形で構成され、$H$ と $W$ は $x^1, x^2, x^3$ の実関数であり、$\tilde\chi$ は基底空間上の1形式である。
• 1形式 $\tilde\chi$ は、適切な添え字の組合せに対して $(d\tilde\chi)_{ij} = \partial_k H$ という制約により定まる。これにより計量がケーラー的であり、正則等距変換をもつことが保証される。
• 可積分性条件 $\mathfrak{D}^2 H = \partial_1^2 H + \partial_2^2 (W^2 H) + \partial_3^2 H = 0$ が満たされることで、閉形式を除いて、全空間に定義された $\tilde\chi$ の存在が保証される。
• 関数 $W$ が定数で $H$ が調和関数であるとき、アンサンブルはギブンズ＝ホーキング計量に還元され、三正則等距変換をもつハイパーケーラー計量が得られる。
• 関数 $H = \partial_2 \log W^2$ で $W$ がトーダ方程式を満たすとき、計量はスカラー平坦ケーラー計量となり、単一正則等距変換をもつハイパーケーラー構造をもつ。
• ビアーベイン形式と接続を用いて可積分性条件を導出し、ケーラー性および正則等距変換の性質を検証する。
• 非コンパクトな対称空間 $\overline{\mathbb{CP}}^2$ にこの手法を適用し、その計量が $H$, $W$, $\tilde\chi$ の明示的表現をもつ一般アンサンブルに適合することを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの正則等距変換をもつ2次元ケーラー計量に対して、既知のギブンズ＝ホーキングクラスを超えて、閉形式の表現を一般に導出可能か？
• RQ2 既知の特殊ケース（例：単一正則等距変換をもつハイパーケーラー計量、スカラー平坦ケーラー計量）が、統一的な枠組みにどのように統合されるか？
• RQ3 計量がケーラー的であり、正則等距変換をもつために、関数 $H$ と $W$ に必要な十分条件は何か？
• RQ4 共形因子 $W$ が、計量が三正則等距変換をもつハイパーケーラー計量であることを妨げる障害としてどのように作用するか？
• RQ5 このアンサンブルを用いて、5次元および6次元のゲージ超重力理論における超対称解を体系的に構成可能か？

主な発見

• 1つの正則等距変換をもつ一般ケーラー計量は、$ds^2 = H^{-1}(dz + \tilde\chi)^2 + H\left[(dx^1)^2 + W^2((dx^2)^2 + (dx^3)^2)\right]$ で与えられ、$H$, $W$, $\tilde\chi$ はすべて $x^1, x^2, x^3$ のみに依存する。
• 可積分性条件 $\mathfrak{D}^2 H = \partial_1^2 H + \partial_2^2 (W^2 H) + \partial_3^2 H = 0$ が満たされることで、必要な制約を満たす全空間に定義された1形式 $\tilde\chi$ の存在が保証される。
• $W$ が定数のとき、計量はギブンズ＝ホーキング計量に還元され、三正則等距変換をもつハイパーケーラー計量が再現される。
• $H = \partial_2 \log W^2$ のとき、計量はスカラー平坦ケーラー計量となり、単一正則等距変換をもつハイパーケーラー構造をもつ。
• $\overline{\mathbb{CP}}^2$ の例は、その標準計量から $H$, $W^2$, $\tilde\chi$ の明示的表現を導出し、一般アンサンブルに適合することが示された。
• 共形因子 $W$ は、計量が三正則等距変換をもつハイパーケーラー計量であるための障害の尺度として機能する。可積分性条件が定数 $W$ のときのみラプラス方程式に還元されるためである。