[論文レビュー] On 2-dimensional topological field theories

Florin Dumitrescu|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、空間 X 上の2次元トポロジカル量子場理論（2-TFT）を、自由ループ空間 LX 上の接続を備えたフロベニウス bundle として特徴づける。これは、古典的な結果である「点上の2-TFTは有限次元可換フロベニウス代数に対応する」という事実を一般化し、1次元の場合に「X 上のベクトル bundle と接続が1-TFTを分類する」という既知の対応関係を2次元へと拡張する。主な貢献は、2-TFT と、LX 上の Difl(S1)+-作用および接続を備えたフロベニウス bundle 間の明確な同値関係を確立することであり、これにより2-TFT はループ空間構造に基づく幾何的・圏論的枠組みで記述可能となる。

ABSTRACT

In this paper we give a characterization of 2-dimensional topological field theories over a space $X$ as Frobenius bundles with connections over $LX$, the free loop space of $X$. This is a generalization of the folk theorem stating that 2-dimensional topological field theories (over a point) are described by finite-dimensional commutative Frobenius algebras. In another direction, this result extends the description of 1-dimensional topological field theories over a space $X$ as vector bundles with connections over $X$, cf. \cite{DST}.

研究の動機と目的

• 点の場合（2-TFTが有限次元可換フロベニウス代数によって分類される）から、一般の空間 X 上の2次元トポロジカル量子場理論（2-TFT）への分類の一般化を図ること。
• X 上の1次元TFTに対応する既知の対応関係（X 上のベクトル bundle と接続が1-TFTを分類する）を2次元設定に拡張すること。
• 2-TFT と、LX 上の接続を備えたフロベニウス bundle 間の明確な同値関係を確立すること。このとき、Difl(S1)+-作用などの幾何的・圏論的構造を組み込むこと。
• 2-TFT における holonomy、平行移動、融合構造の役割、特にランク1の場合の役割を明確化すること。

提案手法

• 2-TFT を、体 k 上の位相的ベクトル空間の圏への滑らかで対称モノイダル関手として、X を底空間とする bordism 圏 Bd(X) に定義する。
• 自由ループ空間 LX 上の接続を備えたフロベニウス bundle の概念を導入し、定数ループへの制限がフロベニウス代数構造を与えることを示す。
• 円周の微分同相によるループ空間 LX 上のパスに沿った平行移動を用いて、bundle に右 Difl(S1)+-作用を構成し、フロベニウス代数構造と整合性を持つようにする。
• bundle の接続を用いて、LX 上のパスに沿った平行移動を定義し、ランク2のホモトピー的同値なパスに対して不変であることを保証することで、融合および超平面的接続公理を満たす。
• TFT の関手的構造が、bundle の幾何的・代数的データと正確に一致することを示すことにより、2-TFT と LX 上の接続を備えたフロベニウス bundle 間の同値関係を確立する。
• ランク1の場合を解析し、TFT を超平面的接続を備えた融合 bundle に結びつける。さらに、Waldorf の理論を介して、X 上の S1-バンドルgerbe と接続へと結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間 X 上の2次元トポロジカル量子場理論は、点の場合を越えて、どのように幾何的・圏論的に分類可能か？
• RQ2 点レベルでのフロベニウス代数構造を一般化して、X 上の2-TFT に対応する自由ループ空間 LX 上の構造は何か？
• RQ3 Difl(S1)+-作用および LX 上のベクトル bundle 上の接続は、2-TFT の関手的およびモノイダル構造をどのように記述するか？
• RQ4 ランク1の2-TFT と、X 上の S1-バンドルgerbe と接続との間の明確な関係は何か？
• RQ5 特にランク2ホモトピーの下で、LX 上のパスに沿った平行移動が、TFT 関手の整合性とどのように関係するか？

主な発見

• 空間 X 上の2-TFT は、自由ループ空間 LX 上の接続を備えたフロベニウス bundle と同値であり、その bundle の定数ループへの制限はフロベニウス代数である。
• フロベニウス bundle は、円周の微分同相に起因するループ空間 LX 上のパスに沿った平行移動によって誘導される、自然な右 Difl(S1)+-作用を備える。
• bundle の接続により、平行移動がランク2ホモトピー的同値なパスに対して不変となることが保証され、超平面的接続条件を満たす。
• ランク1の場合、2-TFT は、Waldorf と Gawedzki が確立した同値関係を介して、X 上の S1-バンドルgerbe と接続と正確に一致する。
• この構成は1次元の場合を一般化する：1-TFT が X 上のベクトル bundle と接続に対応するのと同様に、2-TFT は LX 上のフロベニウス bundle と接続に対応する。
• 本稿は、ループ空間幾何学を用いて2-TFT の関手的構造を幾何的に実現し、代数的データ（フロベニウス代数）と幾何的データ（接続、holonomy、作用）を統合する。