[論文レビュー] On 2D Euler Equations: Part II. Lax Pairs and Homoclinic Structures

Yanguang Charles Li|ArXiv.org|Oct 20, 2000

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 22被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、'ダッシュラインモデル'と呼ばれるガラーキン截断モデルを用いて、2次元Euler方程式におけるホモクライン構造の存在およびその頑健性を調査する。ラクス対を分析し、高次メルニコフ関数を計算することで、双曲的フォリエーションが退化した'8の字'（リップ型）構造を示すことが判明した。第一および第二次のメルニコフ関数が恒等的に消えることから、この退化は非常に頑健であることが示され、2次元Euler流れにおけるホモクライン力学の妥当性を支持する。

ABSTRACT

In Part I of our study on 2D Euler equation, we established the spectral theorem for a linearized 2D Euler equation. We also computed the point spectrum through continued fractions, and identified the eigenvalues with nonzero real parts. In this Part II of our study, first we discuss the Lax pairs for both 2D and 3D Euler equations. The existence of Lax pairs suggests that the hyperbolic foliations of 2D and 3D Euler equations may be degenerate, i.e., there exist homoclinic structures. Then we investigate the question on the degeneracy v.s. nondegeneracy of the hyperbolic foliations for Galerkin truncations of 2D Euler equation. In particular, for a Galerkin truncation, we have computed the explicit representation of the hyperbolic foliation which is of the degenerate case, i.e., figure-eight case. We also study the robustness of this degeneracy for a so-called dashed-line model through higher order Melnikov functions. The first order and second order Melnikov functions are all identically zero, which indicates that the degeneracy is relatively robust. The study in this paper serves a clue in searching for homoclinic structures for 2D Euler equation. The recent breakthrough result of mine on the existence of a Lax pair for 2D Euler equation, strongly supports the possible existence of homoclinic structures for 2D Euler equation.

研究の動機と目的

• 2次元Euler方程式における双曲的フォリエーションの性質を調査し、特にそれが退化している（例：8の字構造）か、非退化しているかを特定すること。
• 2次元Euler方程式に最近発見されたラクス対が、ホモクラインおよびヘタロクライン構造の存在に与える影響を調査すること。
• 高次メルニコフ関数を用いて、ガラーキン截断モデル（'ダッシュラインモデル'）における双曲的フォリエーションの退化の頑健性を分析すること。
• モデルの5次元不変部分系において、ねじれ型ヘタロクライン軌道の明示的解析的および数値的表現を提供すること。
• 可積分性および構造的安定性を基盤として、高レイノルズ数における2次元Eulerおよびナビエ＝ストークス方程式の乱流力学を理解する基盤を築くこと。

提案手法

• 本研究では、制御パrameter ε ∈ [0,1] を持つガラーキン截断モデル、いわゆる'ダッシュラインモデル'を用いる。ε = 0 のとき、このモデルは5次元不変部分系に分解される。
• ε = 0 のとき、双曲的フォリエーションの明示的計算が可能となり、2次元の楕円体的表面から成る'リップ'型構造が明らかになる。この構造にはねじれ型ヘタロクライン軌道が存在する。
• 2次元Euler方程式にラクス対が存在することを理論的基盤として用い、可積分性およびホモクライン構造の可能性を示唆する。
• 高次メルニコフ関数（第一および第二次）を導出し、摂動下での退化した双曲的フォリエーションの頑健性を検証する。
• 線形化系の固有値、周波数成分、係数を用いた明示的公式を用いて、無限遠における境界条件を満たすようにメルニコフ関数の解を計算する。
• 第二および第三のメルニコフ関数の数値的評価が行われたが、計算制限のため結果は確定せず、さらなる数値的検証が継続中である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元Euler方程式の双曲的フォリエーションは、8の字構造などの退化を示すか。これは安定・不安定多様体の一致を示唆するか？
• RQ2 2次元Euler方程式にラクス対が存在することは、系にホモクラインまたはヘタロクライン構造が存在することを示唆するか？
• RQ3 小さな摂動下において、ダッシュラインモデルにおける双曲的フォリエーションの退化はどの程度頑健か？
• RQ4 ダッシュラインモデルにおいて、第一および第二のメルニコフ関数が恒等的にゼロであるか。これは構造的安定性の向上を示唆するか？
• RQ5 ねじれ型ヘタロクライン軌道は、2次元Euler方程式の動的進化、特に異なる定常状態へのプロファイル進化の文脈で果たす役割は何か？

主な発見

• ε = 0 におけるダッシュラインモデルの双曲的フォリエーションは、退化した'リップ'構造を示し、上半分および下半分ともに2次元の楕円体的表面を形成する。
• 系は、t → ±∞ において2つの固定点にねじれ型ヘタロクライン軌道が渦巻き込む構造を支持しており、中間に転換点を有する。これは、異なる定常状態に近づくプロファイル進化を表す。
• ダッシュラインモデルの第一および第二のメルニコフ関数は恒等的にゼロであり、退化が高次摂動に対しても頑健であることを示している。
• 5次元不変部分系を用いて双曲的フォリエーションの明示的表現が導出され、連分数を用いた固有値計算により線形的双曲性が確認された。
• 高次メルニコフ関数が消えることから、この退化は摂動によって簡単に破られないことが示され、2次元Euler方程式における持続的ホモクライン構造の可能性を支持する。
• 第三のメルニコフ関数の数値的評価はまだ確定せず、先進的な数値手法を用いた挙動解明のための継続的取り組みが行われている。