[論文レビュー] On $[A,A]/[A,[A,A]]$ and on a $W_n$-action on the consecutive commutators of free associative algebra

Boris Feigin, Boris Shoikhet|ArXiv.org|Oct 12, 2006

Advanced Topics in Algebra参考文献 1被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$n$ 個の生成子を持つ自由非可換代数 $A_n$ について、商 $[A_n, A_n]/[A_n, [A_n, A_n]]$ の構造を調査し、$
\mathbb{C}^n$ 上の閉じた偶数次微分形式の直和に同型であることを示している。さらに、$A_n$ の下部中心列の関連する可換代数が、$
\mathbb{C}^n$ 上の多項式ベクトル場のリー代数 $W_n$ による自然な作用を持つことが示され、その中心による商はこの $W_n$-作用を保つ。主な貢献は、空間 $[A_n, A_n]/[A_n, [A_n, A_n]]$ が $
\Omega^{2}_{\text{closed}}(\mathbb{C}^n) \oplus \Omega^{4}_{\text{closed}}(\mathbb{C}^n) \oplus \cdots$ として明示的に計算され、連続する交換子に $W_n$-加群構造が付与されることの特定である。

ABSTRACT

We consider the lower central filtration of the free associative algebra $A_n$ with $n$ generators as a Lie algebra. We consider the associated graded Lie algebra. It is shown that this Lie algebra has a huge center which belongs to the cyclic words, and on the quotient Lie algebra by the center there acts the Lie algebra $W_n$ of polynomial vector fields on $\mathbb{C}^n$. We compute the space $[A_n,A_n]/[A_n,[A_n,A_n]]$ and show that it is isomorphic to the space $Ω^2_{closed}(\mathbb{C}^n) \oplus Ω^4_{closed}(\mathbb{C}^n) \oplus Ω^6_{closed}(\mathbb{C}^n) \oplus ...$.

研究の動機と目的

• 自由非可換代数 $A_n$ が $n$ 個の生成子を持つ場合の商空間 $[A_n, A_n]/[A_n, [A_n, A_n]]$ を計算すること。
• Lie代数としての $A_n$ の下部中心列を研究し、その関連可換Lie代数を分析すること。
• 多項式ベクトル場のリー代数 $W_n$ が $
  \mathbb{C}^n$ 上に自然に作用することを、関連可換Lie代数の中心による商に同定すること。
• $[A_n, A_n]/[A_n, [A_n, A_n]]$ と $
  \mathbb{C}^n$ 上の閉じた偶数次微分形式の直和との同型を確立すること。
• 連続する交換子空間 $A_{n,k} = [A_n, \ldots, A_n]$（$k$ 重）が、$k$ が小さい場合および $n=2,3$ の場合に $W_n$-加群構造を持つことを示すこと。

提案手法

• 多項式代数 $\mathbb{C}[x_1, \ldots, x_n]$ の自由分解を、双対グラスマン代数を用いて、高次の導来ファンクターをモデル化すること。
• 生成子の双対空間を表す $V$ を用いて、de Rham複体 $\Omega^\bullet = S^\bullet(V) \otimes \Lambda^\bullet(V)$ に $\mathbb{Z}_2$-次数付きのポアソン代数構造を定義し、括弧を $[\omega_1, \omega_2] = (-1)^{\deg \omega_1} \cdot 2d\omega_1 \wedge d\omega_2$ と定義すること。
• このポアソン代数を、積 $\omega_1 * \omega_2 = \omega_1 \wedge \omega_2 + (-1)^{\deg \omega_1} d\omega_1 \wedge d\omega_2$ を用いて量子化し、代数 $\Omega(V)_*$ を得ること。
• 商 $B = A_n / A_n[A_n, [A_n, A_n]]A_n$ を、量子化された代数の偶数次部分 $\Omega^{\text{even}}(V)_*$ と同定すること。
• 写像 $\theta: [A_n, A_n]/[A_n, [A_n, A_n]] \to [\Omega^{\text{even}}(V)_*, \Omega^{\text{even}}(V)_*]$ が、正の次数の閉じた偶数次微分形式の空間への同型であることを証明すること。
• character多項式を $\mathfrak{gl}_n$-表現からコインダクションされた $W_n$-表現と一致させることで、$k=3,4,5$ および $n=2,3$ の場合に $W_n$-加群構造が成り立つことを検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由非可換代数 $A_n$ が $n$ 個の生成子を持つ場合、商 $[A_n, A_n]/[A_n, [A_n, A_n]]$ の構造は何か？
• RQ2 下部中心列の関連可換Lie代数は、$
  \mathbb{C}^n$ 上の多項式ベクトル場のリー代数 $W_n$ による自然な作用を持つだろうか？
• RQ3 $[A_n, A_n]/[A_n, [A_n, A_n]]$ は、$
  \mathbb{C}^n$ 上の閉じた偶数次微分形式の直和に同型だろうか？
• RQ4 連続する交換子空間 $A_{n,k}$ に $W_n$-加群構造を導入できるだろうか？その構造は既知の $W_n$-加群の特性とどのように一致するか？
• RQ5 $W_n$-加群 $A_{n,k}$ の特性は、$\mathfrak{gl}_n$-表現からコインダクションされた加群の特性と一致するか？

主な発見

• 商 $[A_n, A_n]/[A_n, [A_n, A_n]]$ は、$\Omega^{2}_{\text{closed}}(\mathbb{C}^n) \oplus \Omega^{4}_{\text{closed}}(\mathbb{C}^n) \oplus \Omega^{6}_{\text{closed}}(\mathbb{C}^n) \oplus \cdots$ に同型であり、関手 $A \mapsto A/[A, [A, A]]$ に対する高次のアーベル化空間を明示的に計算している。
• 代数 $B = A_n / A_n[A_n, [A_n, A_n]]A_n$ は、量子化された de Rham 代数の偶数次部分 $\Omega^{\text{even}}(V)_*$ に同型であり、生成子に恒等写像を施す。
• 写像 $\theta: [A_n, A_n]/[A_n, [A_n, A_n]] \to [\Omega^{\text{even}}(V)_*, \Omega^{\text{even}}(V)_*]$ は同型であり、$[\Omega^{\text{even}}(V)_*, \Omega^{\text{even}}(V)_*]$ は正の次数の閉じた偶数次微分形式の空間と一致する。
• 空間 $[A_n, A_n]/[A_n, [A_n, A_n]]$ は、恒等式 $[A_n, [A_n, A_n]] = [A_n, A_n] \cap (A_n \cdot [A_n, [A_n, A_n]] \cdot A_n)$ を満たしており、商の構成が一貫していることを確認している。
• $n=2$ の場合、$\dim A_{2,3}^\ell = 2(\ell - 2)$（$3 \leq \ell \leq 9$）が、2次元の $\mathfrak{gl}_2$-表現からコインダクションされた $W_2$-加群の特性と一致する。
• $n=3$ の場合、$A_{3,3}^\ell$ の特性は、8次元の非可約 $\mathfrak{gl}_3$-表現に対応するヤング図形からコインダクションされた $W_3$-加群と一致し、$A_{3,4}^\ell$ はそのような加群の和と一致する。特性の差は、より高いレベルでのコインダクションされた加群に対応する。