[論文レビュー] On a canonical lattice structure on the effect algebra of a von Neumann algebra

Hans F. de Groote|ArXiv.org|Oct 6, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用数 36

ひとこと要約

本稿では、von Neumann代数の自己共役元の間のスペクトル順序 ≤ₛ を導入し、通常の順序を一般化するとともに、効果代数を有界完備なラティスにしている。主な結果は、von Neumann代数 ℛ が有限であるときかつそのときに限り、範囲射影写像 R: ℰ(ℛ) → ℒ(ℛ) がラティス準同型となることであり、これにより作用素代数におけるラティス構造と有限性の深い関係が確立される。

ABSTRACT

Let R be a von Neumann algebra acting on a Hilbert space H and let R_sa be the set of selfadjoint elements of R. It is well known that R_sa is a lattice with respect to the usual partial order ≤ if and only if R is abelian. We define and study a new partial order on R_sa, the spectral order ≤_s, which extends ≤ on projections, is coarser than the usual one, but agrees with it on abelian subalgebras, and turns R_sa into a boundedly complete lattice. The effect algebra E(R) := {A | 0 ≤ A ≤ I} is then a complete lattice and we show that the mapping A --> R(A), where R(A) denotes the range projection of A, is a homomorphism from the lattice E(R) onto the projection lattice P(R) of A if and only if R is a finite von Neumann algebra.

研究の動機と目的

• von Neumann代数の自己共役元に新しい部分順序 ≤ₛ を定義し、射影の通常の順序を拡張し、標準的順序より粗いものとする。
• スペクトル順序のもとで、自己共役元の集合が有界完備ラティスとなり、効果代数が完全ラティスとなることを示す。
• スペクトル順序のもとで、範囲射影写像 R: ℰ(ℛ) → ℒ(ℛ) が下限と上限の両操作を保存する条件を調査する。
• 範囲射影写像がラティス準同型となるようなvon Neumann代数のクラスを特徴づけ、有限性が必要十分条件であることを特定する。

提案手法

• スペクトル射影を用いて ℛ_sa にスペクトル順序 ≤ₛ を定義する：すべての λ ∈ ℝ に対して E^A_λ ≤ E^B_λ であるときかつそのときに限り A ≤ₛ B とする。
• 作用素 A ∈ ℛ_sa のスペクトル族 (E^A_λ) を用いてスペクトル順序を定義し、アーベル部分代数および射影において通常の順序と一致することを保証する。
• すべての有界族が ≤ₛ における上限および下限を持つことを示すことにより、(ℛ_sa, ≤ₛ) が有界完備ラティスであることを証明する。
• 上限および下限の普遍性を用いて、効果代数 ℰ(ℛ) = {A ∈ ℛ_sa | 0 ≤ A ≤ I} が ≤ₛ に関して完全ラティスであることを示す。
• R: ℰ(ℛ) → ℒ(ℛ) を分析する。ここで R(A) は A の像の閉包への射影である。
• ℳ ⊗ ℛ におけるテンソル積構成およびスペクトル族を用いて、ℛ が有限でない場合の反例を構成し、このとき R が上限を保存しないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 von Neumann代数の自己共役元におけるスペクトル順序 ≤ₛ が、効果代数を完全ラティスにすることになる条件は何か？
• RQ2 範囲射影写像 R: ℰ(ℛ) → ℒ(ℛ) がスペクトル順序に関してラティス準同型となるのはいつか？
• RQ3 スペクトル順序は ℛ_sa における通常の順序とどのように関係するか？ どのような場合にこれらは一致するか？
• RQ4 有限性は、スペクトル順序のもとでの範囲射影写像のラティス的性質において果たす役割は何か？
• RQ5 スペクトル順序は、特にBrouwer補元に関連して、効果代数において完全分配的性や双対性の形をとるか？

主な発見

• スペクトル順序 ≤ₛ は、von Neumann代数 ℛ の自己共役元 ℛ_sa を有界完備ラティスに変え、効果代数 ℰ(ℛ) を完全ラティスに変える。
• スペクトル順序はアーベル部分代数および射影において通常の順序と一致するが、一般には厳密に粗い。
• 範囲射影写像 R: ℰ(ℛ) → ℒ(ℛ) がラティス準同型（すなわち ∧ₛ および ∨ₛ を両方保存）であるための必要十分条件は、ℛ が有限 von Neumann代数であることである。
• ℛ が有限でない場合、R(A ∧ₛ P) < R(A) ∧ R(P) を満たす A, P ∈ ℰ(ℛ) が存在し、R が上限を保存しないことが示される。
• すべての A, B ∈ ℰ(ℛ) に対して第二のデ・モーガンの法則 (A ∧ₛ B)∼ = A∼ ∨ B∼ が成り立つのは、ℛ が有限であるときかつそのときに限る。これは R がラティス準同型であることに同値である。
• スペクトル順序はスペクトル射影を用いて定義され、上限および下限の普遍性を満たすため、有界族に関して完備性が保証される。